（2017·廣西玉林）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合），且AE=CF，連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GO=OD，連接DE，DF，GE，GF．

（1）求證：四邊形EDFG是正方形；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最??？并求四邊形EDFG面積的最小值．

【圖文解析】

（1）簡(jiǎn)析：由已知條件（O為EF的中點(diǎn)，GO=OD ）可得到四邊形EDFG是平行四邊形。如下圖示：

       下面進(jìn)一步證明四邊形EDFG中有一鄰邊相等和一個(gè)內(nèi)角為直角。

       由于D是等腰直角△ABC斜邊上的中點(diǎn)，因此通常連接CD，即可得到相關(guān)重要結(jié)論，如下圖示：

       不難證得∴△ADE≌△CDF（SAS），所以DE=DF，∠ADE=∠CDF．

因∠ADE+∠EDC=90°，進(jìn)一步又得到∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.

    結(jié)合上述所得到的結(jié)論知，四邊形EDFG是正方形．

（2）由（1）證明知：四邊形EDFG是正方形，所以S_{四邊形EDFG}＝DE²，因此當(dāng)DE最短時(shí)，四邊形EDFG的面積最小.如下圖示：

       因E是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)DE⊥AC于E時(shí)，DE最小，如下圖示：

       此時(shí)，四邊形的頂點(diǎn)G與C點(diǎn)重合，不難證得E是AC的中點(diǎn)，同時(shí)DE＝1/2AC＝2.如下圖示：

       所以正方形的面積為2²＝4.

    綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．

【拓展】將本題的條件“E，F分別是AC，BC上的點(diǎn)”改為“E，F分別是直線AC，直線BC上的點(diǎn)”，相關(guān)結(jié)論仍然成立，如下圖示：