上面我們給出了描述實(shí)數(shù)變量的一種特殊行為的概念—極限，這個(gè)概念是我們描述一大類刻畫函數(shù)的局部性 質(zhì)的工具，本章正是應(yīng)用這個(gè)工具得到了微積分的兩個(gè)基本概念：導(dǎo)數(shù)與微分。

導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

從直觀的角度來(lái)講，極限是我們觀察運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)的方式，運(yùn)用這種方式，可以很自然地描述我們關(guān)于運(yùn)動(dòng)的細(xì) 節(jié)的任何概念。關(guān)于運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的一個(gè)很基本的觀念，就是變化率的觀念。應(yīng)該說(shuō)這個(gè)觀念的起源并不是以極限的觀念為前提的，但是要清楚地表述變化率的概 念，則非使用極限作為工具不可。

在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，變化率的概念總是兩個(gè)變量的比值，甚至一般是兩個(gè)取確定大小的變量的比值，但這種作 法從嚴(yán)格的意義上講，是一種近似。

比方說(shuō)變量x和y之間的具有函數(shù)關(guān)系y=f（x），那么y對(duì)于x的變化率就一般表述為，分子與分母分別是兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的變 量的變化值。顯然這個(gè)變化率的刻畫運(yùn)動(dòng)真實(shí)情況的能力是由我們所取的的大小決定的，越大，那么包含在內(nèi)部的變化情況就不能 通過(guò)這個(gè)變化率表達(dá)出來(lái)。相反，越小，那么包含在內(nèi)部的變化情況就能更 多地通過(guò)這個(gè)變化率表達(dá)出來(lái)。因此如果我們希望這個(gè)變化率的概念，能夠盡量詳細(xì)地刻畫運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況，就必須盡可能地使得盡量地小。顯然這里就 需要使用極限的概念，我們正是這樣定義得到導(dǎo)數(shù)的概念的。

對(duì)于函數(shù)y=f（x）來(lái)說(shuō)，在某點(diǎn)存在極限不一定要求函數(shù)在這點(diǎn)有定義，而如果我們要求刻畫函數(shù)在這點(diǎn)附近的變化率這種 性質(zhì)，則顯然應(yīng)該要求函數(shù)在這點(diǎn)有定義。因此我們首先假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x₀的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義。然后考慮自變量在這個(gè)鄰域內(nèi)的變化，已經(jīng)相應(yīng)的因變量的變化：

設(shè)x從x₀變化到，那么因變量就有相應(yīng)的從變化到，按照變化率的一般定義，就是

，

顯然這個(gè)變量依賴于，那么我們?nèi)绾蔚玫娇?劃函數(shù)在x₀處的變化率這種性質(zhì)的變量呢？自然就是使用取極限的方法：

我們定義極限

。

如果這個(gè)極限存在，就稱為函數(shù)y=f（x）在x₀點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。這個(gè)導(dǎo)數(shù)仍然是刻劃了函數(shù)在x₀這點(diǎn)變化率，因?yàn)槲覀円呀?jīng)應(yīng)該理解到，極限是一個(gè)過(guò)程，而確定的極限值，則是度量這個(gè)過(guò)程的一個(gè)數(shù) 值。

這樣我們就得到了使用數(shù)值對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率性質(zhì)的刻劃，進(jìn)一步，我們看到這個(gè)刻劃函數(shù)在一點(diǎn)的 性質(zhì)，還可以看成是一個(gè)隨著這個(gè)點(diǎn)的位置的變化而變化的新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)具有與所研究的函數(shù)相同的自變量，那么如果在上述的鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)都存在，導(dǎo) 數(shù)，或者說(shuō)可以定義這樣的導(dǎo)數(shù)的話，與這個(gè)鄰域上定義的函數(shù) y=f（x）相對(duì)應(yīng)的新的函數(shù)是以每一點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)作為因變量的，這個(gè)函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)，在不至于混淆的情況下，也 可以稱為導(dǎo)數(shù)，寫成。

導(dǎo)數(shù)的概念可以用幾何圖形得到非常直觀的表達(dá)，因?yàn)楸緛?lái)微積分的概念就有很強(qiáng)的幾何直觀性質(zhì)，而我們 學(xué)習(xí)微積分，從幾何直觀的角度來(lái)理解與把握抽象概念，則是一個(gè)不二法門，希望同學(xué)們認(rèn)真對(duì)待。

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念描述物理量。

導(dǎo)數(shù)概念具有很強(qiáng)的實(shí)際問(wèn)題的背景，而我們?cè)趯?shí)際問(wèn)題當(dāng)中總是能夠遇到大量的需要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念來(lái)加以 刻劃的概念，甚至可以說(shuō)，導(dǎo)數(shù)的概念構(gòu)成一種思路，當(dāng)我們?cè)谔幚碚鎸?shí)世界的問(wèn)題時(shí)，常常遵循這個(gè)思路來(lái)獲得對(duì)于實(shí)際對(duì)象的性質(zhì)的刻劃。

前面我們已經(jīng)討論了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其實(shí)完全可以反過(guò)來(lái)說(shuō)，正是由于當(dāng)初在幾何學(xué)問(wèn)題中，為了要描述 斜率這個(gè)概念，才啟發(fā)人們建立了抽象的一般的導(dǎo)數(shù)的概念。而在其他的領(lǐng)域，這種相互發(fā)明的情況是屢見不鮮的。

比方說(shuō)在物理學(xué)領(lǐng)域，需要大量地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念，來(lái)刻劃屬于變化率，增長(zhǎng)率，強(qiáng)度，通量，流量等等一 大類的物理量。例如速度，加速度，電流強(qiáng)度，熱容，等等。而我們?cè)趯?shí)際問(wèn)題當(dāng)中，更是應(yīng)該善于提取復(fù)雜現(xiàn)象當(dāng)中所蘊(yùn)涵的導(dǎo)數(shù)概念。

分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

完全根據(jù)左右極限的概念，我們可以在上面的導(dǎo)數(shù)定義當(dāng)中，把變化率的極限分成左右極限兩種情況來(lái)考 慮，這樣就能夠自然地得到左右導(dǎo)數(shù)的概念，不過(guò)，必須主要的是，任何時(shí)候，導(dǎo)數(shù)盡管作為一個(gè)極限，但導(dǎo)數(shù)的存在，并非只是要求這個(gè)相應(yīng)極限的存在，更要求 函數(shù)在相應(yīng)的點(diǎn)有定義。

同左右極限主要應(yīng)用于分段函數(shù)一樣，左右極限也是主要用來(lái)分析分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的性質(zhì)。顯然，如果 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處有定義，那么它在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)會(huì)出現(xiàn)兩種情況：一是在分段點(diǎn)處同時(shí)存在左右導(dǎo)數(shù)，但它們不相等；一是在分段點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)相等，這樣 這個(gè)函數(shù)在分段點(diǎn)處就存在導(dǎo)數(shù)，而不只是存在左右導(dǎo)數(shù)。

這兩種情況如圖所示，可以得到很好的表示：

圖中函數(shù)在A點(diǎn)處，左右導(dǎo)數(shù)同時(shí)存在但不相等。

圖中函數(shù)在A點(diǎn)處，左右導(dǎo)數(shù)同時(shí)存在并且相等。

這里我們實(shí)際上可以得到一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)的一個(gè)充要條件，即函數(shù)在該點(diǎn)同時(shí)存在左右導(dǎo) 數(shù)，并且左右導(dǎo)數(shù)相等。

函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

從上面的對(duì)于分段點(diǎn)的分析，就可以知道

（1）函數(shù)在某點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)，則必定在該點(diǎn)處連續(xù)，首先因?yàn)榇嬖趯?dǎo)數(shù)，必定意味著同時(shí)存在左右導(dǎo)數(shù)，并且 相等，這也就是說(shuō)必定同時(shí)存在左右極限，同樣相等，而且這個(gè)極限必定等于函數(shù)在這點(diǎn)的函數(shù)值。否則就會(huì)總是大于某個(gè)確定的數(shù)值。

換一種說(shuō)法，就是如果函數(shù)在鄰域

存在極限

則顯然極限也必定存在，并且只能是0，這正是函數(shù)在這點(diǎn)連續(xù)的定義。

（2）函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，則不一定在該點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)，而盡管是可能同時(shí)存在左右極限的。正如上面的第一種 分段函數(shù)的情況所給出的例子。

基本導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則與求導(dǎo)公式。

由于導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)求極限的過(guò)程，因此完全來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則，同樣存在導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法 則，列出如下，不過(guò)還是希望同學(xué)們自己進(jìn)行推導(dǎo)從而更好地掌握極限法則和導(dǎo)數(shù)法則。

（1），其中c為任意常數(shù)。

（2），其中a和b是任意常數(shù)。

（3）。

（4），（。

直接從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，也就是運(yùn)用求極限的方式，我們就可以計(jì)算得到三種基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的表達(dá) 式，即常數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)檫@無(wú)非就是一個(gè)求極限的過(guò)程。從這三種基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，加上基本導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和函數(shù)之間本身的恒 等變換關(guān)系，就可以得到所有初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

我們列出基本的求導(dǎo)公式如下，但是希望同學(xué)們能夠自己動(dòng)手，推導(dǎo)出這些基本求導(dǎo)公式來(lái)，而不是死記硬 背，因?yàn)橹挥凶约河H手推導(dǎo)出來(lái)的公式，才能真正熟練地，深刻地加以掌握，才能在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中加以靈活運(yùn)用。

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

由基本初等函數(shù)通過(guò)復(fù)合而得到復(fù)合函數(shù)，那么在這種復(fù)合過(guò)程當(dāng)中，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)如何變化呢？這里有一 個(gè)一般的對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，就是所謂鏈?zhǔn)椒▌t：

兩個(gè)函數(shù)y=f（u），u=g（x）可以通過(guò)復(fù)合構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其中g在x點(diǎn)處可導(dǎo)，f在相應(yīng)的u=g（x）點(diǎn)處可導(dǎo)，那么復(fù)合得到的函數(shù)y=f[g（x）]在同樣的x點(diǎn)處也可導(dǎo)，并且導(dǎo)數(shù)等于：

這個(gè)定理直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義，通過(guò)求極限就可以得到。

這里是只有一個(gè)中間變量的情形，如果有多個(gè)中間變量，則表達(dá)式的形式是類似的：

。

應(yīng)用這個(gè)法則，就可以直接求出用基本初等函數(shù)通過(guò)有限的復(fù)合過(guò)程構(gòu)造出來(lái)的復(fù)雜函數(shù)，而無(wú)論復(fù)合的層 次有多少。

隱函數(shù)求導(dǎo)法。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

我們已經(jīng)討論的函數(shù)都是采用所謂顯函數(shù)的形式，就是函數(shù)表達(dá)式直接給出了因變量如何通過(guò)對(duì)自變量作什 么樣的運(yùn)算而得到。還有一種表達(dá)函數(shù)的形式，就是所謂隱函數(shù)形式，這種函數(shù)表達(dá)形式給出的是自變量與因變量之間的關(guān)系，而沒(méi)有直接給出由自變量得到因變量 的表達(dá)式。這種形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，一般就是應(yīng)用鏈導(dǎo)法。

對(duì)隱函數(shù)應(yīng)用鏈導(dǎo)法的核心思想就是引入中間變量，即對(duì)于一個(gè)同時(shí)包含了自變量與因變量的表達(dá)式，把包 含了因變量的部分作為因變量自身的函數(shù)，從而總是能夠?qū)σ粋€(gè)隱函數(shù)的表達(dá)式的兩邊同時(shí)關(guān)于本來(lái)的自變量求導(dǎo)。盡管在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，我們并不一定需要特 意地指出引入了什么樣的中間變量。

在這里，初學(xué)者往往不能 靈活地把任何一個(gè)包含變量的表達(dá)式的某個(gè)部分，看成是一個(gè)新的變量，這就反映了初學(xué)者還沒(méi)有深刻地理解所謂變量的含義，這也正是我們?cè)诒菊n程開始的時(shí)候， 著重強(qiáng)調(diào)變量這一類的基本概念的重要性的原因所在了。

下面我們會(huì)通過(guò)例子和練習(xí)來(lái)幫助同學(xué)們熟練掌握這個(gè)特別有用的求導(dǎo)法。

我們知道對(duì)于通過(guò)乘法，乘方，及其逆運(yùn)算所組成的復(fù)雜形式的函數(shù)，可以通過(guò)取對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)的形式，如 果在這個(gè)基礎(chǔ)上再運(yùn)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法，就能簡(jiǎn)化一大類的通過(guò)乘法，乘方，及其逆運(yùn)算所組成的復(fù)雜形式的函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，這就是對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

在運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法時(shí)，必須注意到，如果被取對(duì)數(shù)的項(xiàng)有可能取負(fù)值，則必須先對(duì)這項(xiàng)取絕對(duì)值，才能接著 取對(duì)數(shù)。

反函數(shù)求導(dǎo)法。

應(yīng)用鏈導(dǎo)法可以直接對(duì)一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)求導(dǎo)。這里的關(guān)鍵是對(duì)每一個(gè)函數(shù)的自變量與因變量不能搞混淆 了。任何就是注意反函數(shù)存在的條件。

設(shè)函數(shù)，則有。

參數(shù)式所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法。

函數(shù)還有一種表示方法，就是通過(guò)引入?yún)⒆兞慷玫絽?shù)方程所表示的函數(shù)。對(duì)參數(shù)方程求導(dǎo)，需要綜合運(yùn) 用鏈導(dǎo)法和反函數(shù)求導(dǎo)法。

設(shè)參數(shù)方程為

那么我們有

高階導(dǎo)數(shù)。

既然導(dǎo)函數(shù)本身就是一個(gè)新的函數(shù)，那么應(yīng)該同樣可以再次對(duì)它關(guān)于自變量取導(dǎo)數(shù)，甚至多次地重復(fù)這種步 驟，從而得到所謂高階導(dǎo)數(shù)。我們?cè)诤竺娴膶W(xué)習(xí)當(dāng)中，會(huì)遇到高階導(dǎo)數(shù)極其重要的應(yīng)用。高階導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中也是極其有意義的，例如加速度的概念，就是基于 位移對(duì)時(shí)間的二次導(dǎo)數(shù)，而二階導(dǎo)數(shù)的幾何意義也是極其鮮明的，即能反映曲線的凹向。

盡管求高階導(dǎo)數(shù)只是上面所討論的求導(dǎo)法的重復(fù)，并沒(méi)有出現(xiàn)什么新的計(jì)算原理，不過(guò)掌握一些有用的公 式，對(duì)于我們的計(jì)算還是能起到很大的簡(jiǎn)化作用，下面列出幾個(gè)這樣的公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

以及一個(gè)基本求導(dǎo)法則：

（6）

這幾個(gè)公式是常用的基本公式，本身并不復(fù)雜，只有自己動(dòng)手作推導(dǎo)，然后多加練習(xí)，就一定能夠熟練運(yùn) 用。

進(jìn)一步我們還可以自己推導(dǎo)出初等函數(shù)以及隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法。這里的關(guān)鍵是 除了原始的自變量以外，其他的任何引入的參數(shù)或者中間變量，包括最終的因變量，都必須看成是另外的用來(lái)求導(dǎo)的變量的函數(shù)，隨時(shí)清醒地意識(shí)到這點(diǎn)，可以使得 我們能夠有條不紊地一步一步運(yùn)用基本求導(dǎo)法和基本公式解決任何的求導(dǎo)問(wèn)題。因?yàn)閺谋举|(zhì)上來(lái)看，任何初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)總還是初等函數(shù)，而且總能夠通過(guò)固定的 步驟求出來(lái)。這點(diǎn)和我們?cè)诤竺嬉獙W(xué)習(xí)的積分法具有本質(zhì)的不同。

微分。

我們知道導(dǎo)數(shù)的概念是用來(lái)研究函數(shù)在一點(diǎn)及其附近的局部性質(zhì)的精確工具，而對(duì)于函數(shù)在某點(diǎn)附近的性質(zhì) 還可以應(yīng)用另一種方法來(lái)研究，就是通過(guò)最為簡(jiǎn)單的線性函數(shù)來(lái)逼近，這就是微分的方法。

所謂微分仍然是導(dǎo)數(shù)概念的一種應(yīng)用，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念，

，

我們有如下的所謂增量公式：

這里是一個(gè)時(shí)的無(wú)窮小量。因此我們可以取

，

這個(gè)近似等式在點(diǎn)x的附近是隨著越小而越精確的，由于函數(shù)在某點(diǎn)的 導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常數(shù)，因此上面的表達(dá)式是一個(gè)線性函數(shù)，這里的實(shí)質(zhì)就是在某點(diǎn)的附近，用一個(gè)線性函數(shù)替代原來(lái)一般是比較復(fù)雜一些的函數(shù)，從而在這點(diǎn)的附近能夠 應(yīng)用簡(jiǎn)單的方式研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。一般地，我們就可以定義一個(gè)新的概念：

就稱為函數(shù)在x點(diǎn)處的微分。

從微分的概念，我們還可以更進(jìn)一步地理解導(dǎo)數(shù)的概念：

我們看上面的表達(dá)式究竟是什么樣的意思：就是任何一個(gè)函數(shù)，因變量在某點(diǎn)的微分就是函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 和自變量在這點(diǎn)附近的一個(gè)足夠小的增量的乘積，那么我們同樣可以定義這個(gè)函數(shù)里的自變量的微分。怎么定義呢？就是在這個(gè)函數(shù)里，把自變量看成另一個(gè)函數(shù)的 因變量，從而使得這個(gè)函數(shù)成為一個(gè)具有新的變量的復(fù)合函數(shù)，我們可以這樣定義這個(gè)函數(shù)，即g（x）=x，這樣就在形式上沒(méi)有改變?cè)瓉?lái)的函數(shù)，而實(shí)質(zhì)上應(yīng)該說(shuō)我們對(duì)這個(gè)函數(shù)的看法有了改變，那么函數(shù)g的微分有時(shí)什么呢？可以得到就是：

這樣我們就從微分的角度得到了導(dǎo)數(shù)記號(hào)的新的意義，即

，

。

回顧一下我們以前對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義，是來(lái)自兩個(gè)增量的比值的極限，作為一個(gè)極限，寫成比值的形式，卻還是 一個(gè)整體的意思，現(xiàn)在我們看到，這種比值的形式還是可以賦予比值的意義的。這樣就使得我們可以合理地對(duì)導(dǎo)數(shù)的這種形式應(yīng)用除法的運(yùn)算法則了。例如在我們應(yīng) 用鏈導(dǎo)法時(shí)，已經(jīng)不自覺使用了的一樣。

微分的四則運(yùn)算法則。微分形式不變性。

進(jìn)一步利用微分與導(dǎo)數(shù)的這種比值形式的關(guān)系，就可以直截了當(dāng)?shù)貜膶?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得到相應(yīng)的微分的運(yùn)算 法則，即直接在表達(dá)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的恒等式的兩邊乘dx即可，因?yàn)閷?duì)于導(dǎo)數(shù)的這種作為兩個(gè)微分的比值的看法允許這么作：

（1），其中c為任意常數(shù)。

（2），其中a和b是任意常數(shù)。

（3）。

（4），（。

對(duì)于函數(shù)的自變量，我們知道還可以更進(jìn)一步地看成是另一個(gè)新的變量的函數(shù)，這樣就使得原來(lái)的函數(shù)轉(zhuǎn)變 為一個(gè)復(fù)合函數(shù)，這是我們構(gòu)造函數(shù)或者說(shuō)理解函數(shù)結(jié)構(gòu)的常用方法。那么因變量的微分是否與自變量究竟是最終的自變量，還是僅僅只是一個(gè)中間變量有關(guān)呢？這 里存在一個(gè)微分的基本性質(zhì)，就是說(shuō)微分的形式是與變量在函數(shù)里的地位沒(méi)有關(guān)系的，這就是所謂微分的形式不變性。

我們可以通過(guò)運(yùn)用兩個(gè)不同的途徑來(lái)求一個(gè)變量的微分而得到微分不變性的一個(gè)說(shuō)明。一是對(duì)于一個(gè)函數(shù)直 接運(yùn)用微分的定義；二是把這個(gè)函數(shù)的自變量看成另一個(gè)新的變量的因變量，從而對(duì)于復(fù)合函數(shù)運(yùn)用鏈導(dǎo)法而得到原來(lái)變量的微分的新的表示形式，最終可以發(fā)現(xiàn)者 兩個(gè)結(jié)果是一樣的。即對(duì)于函數(shù)，直接根據(jù)微分的定義，我們可以得 到y的微分表示為，而如果我們?nèi)我庖胍粋€(gè)新的函數(shù)，這樣就使得變量y成為了一個(gè)新的復(fù)合函數(shù)的因變量：，對(duì)于這個(gè)復(fù)合函數(shù)，我們?nèi)匀豢梢?直接應(yīng)用微分的定義，得到變量y的微分的表達(dá)式：

，

注意，這里的是從導(dǎo)數(shù)的本來(lái)定義來(lái)理解的，暫時(shí) 不能看成是兩個(gè)變量的微分的比值。

另外，變量y的這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)鏈導(dǎo)法表示如下：

，

把這個(gè)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式代入上面的變量y的微分的表達(dá)式，可以得到

，

我們可以看到，其中包含了函數(shù)g的或者說(shuō)變量x的微分的表達(dá)式，即，代入，我們就得到了和直接應(yīng)用微 分定義所得到的，用變量x表達(dá)的變量y的微分一樣的形式：。這就是所謂的微分形式不變 性。

微分不變性最為重要的意義就是說(shuō)明了可以對(duì)于任意的變量取微分，而無(wú)論這個(gè)變量在還是中所處的地位如 何。

進(jìn)一步，對(duì)于引入了中間變量的鏈導(dǎo)法，反函數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)方程的求導(dǎo)法，我們都可以在非常簡(jiǎn)單的意義 上來(lái)加以理解，即總是可以把導(dǎo)數(shù)看成是兩個(gè)不同變量的微分的比值，從而可以對(duì)于導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用除法的運(yùn)算法則。這就極大地簡(jiǎn)化了我們有關(guān)導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn) 算，加深了我們對(duì)于導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系的理解。

基本微分公式。

基于基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和微分形式的不變性，我們可以直接得到基本函數(shù)的微分公式，實(shí)際上，也就是把 導(dǎo)數(shù)看成兩個(gè)微分量的比值，然后在導(dǎo)數(shù)公式的恒等式兩邊乘dx即可。我們列出如下，以便 記憶：