?。ū緦ｎ}主要參考了陳省身著《九十初度說(shuō)數(shù)學(xué)》上?？萍冀逃霭嫔?，2001）
　　教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)指導(dǎo)：
　　幾何最早的有記錄的開(kāi)端可以追溯到古埃及、古印度和古巴比倫，其年代大約始于公元前3000年。因此，時(shí)至今日，幾何學(xué)的發(fā)展已經(jīng)經(jīng)歷了大約5000多年了。這漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程，可以劃分為哪幾個(gè)階段，各有何特點(diǎn)，是本專題所關(guān)注的主要內(nèi)容。希望學(xué)員通過(guò)對(duì)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，更好地體會(huì)與理解數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律。

　　一、歐幾里得幾何
　　在專題二中我們介紹了歐幾里得在公元前300年左右寫(xiě)了《幾何原本》。《幾何原本》匯集了大量前人積累的數(shù)學(xué)成果，是世間少有的鴻篇巨著，因此100多年前，人們也將幾何學(xué)稱為“歐幾里得幾何學(xué)”。它的主要結(jié)論有兩個(gè):
　　(1)畢達(dá)哥拉斯定理 這條定理就是我們常說(shuō)的勾股定理:設(shè)有一直角三角形，則長(zhǎng)邊的平方等于其它兩邊的平方和。由幾何方面來(lái)說(shuō)，如果我們?cè)谌吷细髯饕粋€(gè)正方形，那么兩個(gè)小正方形的面積和就等于大正方形的面積。
　　(2)三角形三內(nèi)角之和等于180° 如果以弧度為單位，也可以說(shuō)三角形三內(nèi)角之和等于π。這本書(shū)受到重視，不單是為了學(xué)幾何，主要還要學(xué)一種邏輯推理的方法。歐幾里得從幾個(gè)很明顯的事實(shí)——公理——出發(fā)，用邏輯的方法推出幾何的結(jié)論。在他列出的公理中，較有爭(zhēng)議的是平行公理。平行公理原來(lái)是說(shuō):有兩條直線被一直線所截，如果截角的和小于180°，那么這兩條直線在充分延長(zhǎng)后，必相交于一點(diǎn)。另一個(gè)簡(jiǎn)單的說(shuō)法是:假使有一直線和線外一點(diǎn)，那么通過(guò)那個(gè)點(diǎn)就剛好只有一條直線和原來(lái)的直線平行，平行者就是這兩條直線不相交。
　　這個(gè)平行公理在所有公理之中是最不明顯的，所以數(shù)學(xué)家或是對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的人便想從其他的公理去推得平行公理。這種努力延續(xù)了幾百年，后來(lái)證明這是不可能的，于是有了非歐幾何學(xué)的發(fā)現(xiàn)，這在人類思想史上是非常有意義的事實(shí)。這是西方數(shù)學(xué)和中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同的地方?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)古代最有名的數(shù)學(xué)書(shū)，一共九章，第九章談的是所謂勾股。勾、股就是直角三角形中較短的兩條邊，一條叫做“勾”，另一條就叫做“股”，而最長(zhǎng)的那條邊便稱為“弦”。剛才說(shuō)過(guò)，勾股定理也就是畢達(dá)哥拉斯定理，所以它的發(fā)現(xiàn)，中國(guó)人也有份。但是在中國(guó)傳統(tǒng)的幾何學(xué)中，無(wú)法找到類似三角形三內(nèi)角和等于180°的推論，這是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中沒(méi)有的結(jié)果。因此，比較國(guó)外數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和中國(guó)古代數(shù)學(xué)的書(shū)，可以看到中國(guó)古代數(shù)學(xué)都偏于應(yīng)用；講得過(guò)分一點(diǎn)，甚至可以說(shuō)中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有純粹數(shù)學(xué)，都是應(yīng)用數(shù)學(xué)。這是中國(guó)古代科學(xué)的一個(gè)缺點(diǎn)，這個(gè)缺點(diǎn)到現(xiàn)在還存在。應(yīng)用當(dāng)然很重要，但是許多科學(xué)領(lǐng)域的基本發(fā)現(xiàn)都在于基礎(chǔ)科學(xué)。比如，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)沒(méi)有復(fù)數(shù)，傳統(tǒng)的中國(guó)數(shù)學(xué)家覺(jué)得√-1是沒(méi)有應(yīng)用的。其實(shí)√-1重要極了。如果沒(méi)有復(fù)數(shù)，就沒(méi)有電學(xué)，就沒(méi)有量子力學(xué)，就沒(méi)有近代文明。有時(shí)候講應(yīng)用，眼光要放長(zhǎng)遠(yuǎn)些。視線放得更遠(yuǎn)一些，也許它的應(yīng)用會(huì)更大。

　　二、非歐幾何
　　從三角形三內(nèi)角之和等于180°這個(gè)結(jié)論，而有接下來(lái)的重要發(fā)展:
　　(1)球面幾何 我們所討論的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一個(gè)球面三角形，在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和必然大于180°，并且有一個(gè)非常重要的公式:
　　　　　A+B+C-π= S/R2
S 是該球面三角形的面積，R 是球的半徑，R2 則度量了球面的曲率，因此有“曲率”的觀念跑到這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的公式里。這在數(shù)學(xué)或物理學(xué)上是一個(gè)重要發(fā)展，因?yàn)樵趷?ài)因斯坦的相對(duì)論中，曲率 1/R2 代表一個(gè)場(chǎng)的力。所以幾何度量和物理度量便完全一致了。
　　(2)雙曲型的非歐幾何 在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:
　　　　　A+B+C-π= -S/R2
此時(shí) R 代表非歐幾何的一個(gè)絕對(duì)的度量，換句話說(shuō)，在雙曲型非歐幾何的“平面”上，它的曲率是負(fù)的，即曲率為 -1/R2。
　　因此，在空間或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負(fù)的，像雙曲幾何。而其相對(duì)應(yīng)的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于180°之情形，不再滿足歐幾里得的平行公理，因此它們也被稱作“非歐幾何”。
　　非歐幾何的發(fā)現(xiàn)有三個(gè)人同時(shí)進(jìn)行。他們是匈牙利數(shù)學(xué)家玻利亞、德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯和俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基。但年輕的數(shù)學(xué)家玻利亞因?yàn)樗膭?chuàng)見(jiàn)當(dāng)時(shí)不被任何人理解，經(jīng)不起這樣的打擊，從此一蹶不振。而高斯屈從于教會(huì)的勢(shì)力，不敢勇敢地發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn)。只有富有創(chuàng)新精神的羅巴切夫斯基在1826年2月11日，在喀山大學(xué)數(shù)學(xué)物理系會(huì)議上，宣讀了他的開(kāi)創(chuàng)性論文《平行線理論和幾何學(xué)原理概論及證明》，向世界公開(kāi)了自己的新觀點(diǎn)，提出了羅巴切夫斯基公理，這一天公認(rèn)為“非歐幾何”的誕生日。他公然向人類幾千年來(lái)確信不疑的歐氏幾何挑戰(zhàn)，在當(dāng)時(shí)遭到了幾乎所有數(shù)學(xué)家的諷刺，甚至校長(zhǎng)的職務(wù)也被撤除。但是科學(xué)界對(duì)待羅巴切夫斯基的不公正評(píng)價(jià)并未摧毀他對(duì)新幾何的信念，他不顧一切侮辱，堅(jiān)持真理，他的理想終于得勝，被歷史承認(rèn)。三人中只有他被公認(rèn)為“非歐幾何之父”，這也是后人對(duì)他堅(jiān)持真理的一種敬意。

　　三、坐標(biāo)幾何
　　歐幾里得幾何之后，第二個(gè)重要的發(fā)展是坐標(biāo)幾何。法國(guó)的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒在幾何學(xué)研究中引進(jìn)了坐標(biāo)的概念，因此可用解析的方法來(lái)處理幾何的問(wèn)題。坐標(biāo)就是說(shuō):假使在 X-Y 平面上有兩個(gè)軸，即 X 軸和 Y 軸，那么一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo) x 和 y，就分別以兩個(gè)相對(duì)應(yīng)的度量來(lái)表示，因此有了解析幾何，即可用解析的方法進(jìn)行幾何學(xué)的討論。例如:
點(diǎn)→(x,y)；
　　直線 →ax+by+c=0 ;
　　圓周 →(x-a) 2+(y-b) 2=r ，
　　于是幾何的問(wèn)題便成為代數(shù)的問(wèn)題。
　　這樣的發(fā)展不但使幾何問(wèn)題的處理容易些，而且更有其重大的意義:
　　(1)解析化之后，可擴(kuò)大所研究的圖形的范圍。除了直線的一次方程式，或圓周的二次方程式，還可以取任意的方程式 f(x,y)=0 , 討論坐標(biāo) (x,y) 適合這方程的所有點(diǎn)的軌跡，因此許多用幾何的方法很難處理的曲線，在解析化之后，都可從表示它的方程式中得到有關(guān)的幾何性質(zhì)。
　　(2)研究的圖形不再局限在二維的平面上，而可推廣至高維空間。世界上的事情，如果只用二維的平面，往往不足以表示，而需要取更多的坐標(biāo)。例如，我們所在的空間是三維的，有 x,y,z 三個(gè)度量；假使要用幾何來(lái)表示物理的問(wèn)題，那么三個(gè)度量之外，尚須加一個(gè)時(shí)間 t ，所以物理的空間就變成了四維空間；不但如此，假使有一點(diǎn)在三維空間運(yùn)動(dòng)，那么除了要用 (x,y,z)來(lái)表示點(diǎn)的位置外，還要用這三個(gè)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的微商，即(dx/dt , dy/dt , dz/dt )，來(lái)表示它的速率。這樣就構(gòu)成了六維的空間。所以，種種情形都指示我們有必要考慮更高維的空間，來(lái)表示自然的現(xiàn)象。
　　解析幾何使幾何學(xué)研究的范圍大為拓廣，而科學(xué)的發(fā)展就是要擴(kuò)大研究的范圍，了解更多的情形。笛卡兒的解析幾何達(dá)到了這個(gè)目的，使幾何學(xué)邁入一個(gè)新的階段。

　　四、群的概念
　　第三個(gè)發(fā)展是群的概念，這是數(shù)學(xué)上一個(gè)基本的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)總是要運(yùn)算，加、減、乘、除。研究幾何的話，把一個(gè)東西從這個(gè)位置移動(dòng)到其他的位置，也是個(gè)運(yùn)算，這樣的運(yùn)算也稱為運(yùn)動(dòng)。它有一個(gè)特別的性質(zhì)，也就是說(shuō)：要把一個(gè)物體從甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，可經(jīng)由一次運(yùn)動(dòng)來(lái)達(dá)成；具有這個(gè)特殊性質(zhì)的，便稱為一個(gè)群，幾何學(xué)研究的對(duì)象，應(yīng)是經(jīng)運(yùn)動(dòng)群變換后不變的幾何性質(zhì)。這個(gè)觀念立刻便有了重要的發(fā)展。
　　有時(shí)我們還想討論比運(yùn)動(dòng)群更大的群，看是不是有些性質(zhì)不但在運(yùn)動(dòng)群下不變，而且在更大的群之下也不變。歷史上最主要的例子是投影，設(shè)有兩條直線在空間相交，從一點(diǎn)出發(fā)對(duì)它們的投影被一新平面所截，則所得之兩直線仍舊相交，像這種“直線相交”的幾何性質(zhì)，經(jīng)過(guò)一種比運(yùn)動(dòng)還廣的投影之后，所得的圖形仍具有如此的幾何性質(zhì)，即在投影下不變。這也有許多應(yīng)用，如藝術(shù)家畫(huà)畫(huà)，講究透視，遠(yuǎn)近合乎幾何的條件。
　　研究幾何性質(zhì)在投影群變換之下不變的是投影幾何。投影幾何的發(fā)展，把幾何的觀念推廣了，不只是有普通的歐幾里得幾何討論經(jīng)運(yùn)動(dòng)后不變的幾何性質(zhì)，也可以在投影幾何中討論經(jīng)投影后仍是不變的性質(zhì)。有許多經(jīng)運(yùn)動(dòng)后不變的性質(zhì)，在投影變換后是變了的，像距離、角度，但還有些更重要的性質(zhì)在諸如投影群之類更大的群下是不變的。這些性質(zhì)能經(jīng)過(guò)投影群不變，在幾何上自有其重要的意義。
　　在幾何學(xué)的發(fā)展之中，有許許多多不同的幾何學(xué)，像歐幾里得幾何學(xué)、投影幾何學(xué)……及其他種種幾何學(xué)，自然就要有一個(gè)人把它綜合集結(jié)起來(lái)，他就是德國(guó)的數(shù)學(xué)家克萊因。他22歲的時(shí)候（1872年）前往德國(guó)小城埃爾蘭根的一所大學(xué)任教，依據(jù)德國(guó)的習(xí)慣，新教授上任必須做一次公開(kāi)講演，而他講演的內(nèi)容——“埃爾蘭根綱領(lǐng)”（其要點(diǎn)是已給一個(gè)集合 ∑ 和作用于 ∑ 的一個(gè)變換群 G，在 G 作用下的不變性質(zhì)和不變量稱為隸屬于 G 的幾何學(xué)），就是這個(gè)新幾何學(xué)?？巳R因把幾何學(xué)建立在群的觀念上:一個(gè)空間有一個(gè)變換群，允許把空間的圖形從這個(gè)位置移到另一個(gè)位置；因此有了一個(gè)群之后，便有一種幾何，研究經(jīng)過(guò)這個(gè)變換群變換之后保持不變的所有圖形的幾何性質(zhì)。這個(gè)群可以是歐幾里得運(yùn)動(dòng)群，也可以是投影變換群，或者其他種種的群，因?yàn)槿旱倪x擇不同，也就得到許多種不同的幾何學(xué)，其中也包括非歐幾何學(xué)。按照克萊因的觀點(diǎn)，只要在空間中有一個(gè)所謂的二次超曲面，非歐幾何學(xué)便討論在所有的投影變換下，使這個(gè)二次超曲面不變的性質(zhì)。例如，在平面上有一個(gè)圓周，非歐幾何就是要討論在投影變換群下圓周仍不改變的性質(zhì)。所以非歐幾何就變成研究圓內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的空間的性質(zhì)，也就是在雙曲平面上進(jìn)行討論。因此，按照克萊因的觀點(diǎn)，非歐幾何學(xué)就變得極容易處理。

　　五、幾何局部化
　　黎曼所創(chuàng)立的幾何把幾何局部化，可以說(shuō)是幾何學(xué)的第四個(gè)發(fā)展，這是笛卡爾坐標(biāo)幾何的自然推廣。在笛卡爾坐標(biāo)系中，如果我們?nèi)?m 維的空間，一個(gè)點(diǎn)就可以用 m 個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示，而此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，是坐標(biāo)的一個(gè)二次式。而黎曼不但用坐標(biāo)，他還用坐標(biāo)的微分，于是便把笛卡爾幾何局部化，因此黎曼幾何可以說(shuō)是一個(gè)局部化的幾何。黎曼幾何主要建構(gòu)在弧長(zhǎng) s 上，弧長(zhǎng)微分 ds 的平方等于坐標(biāo)的一個(gè)二次微分式；既然有了ds ，便可計(jì)算兩點(diǎn)所連接的曲線的長(zhǎng)度，也就是弧長(zhǎng)，所以用弧長(zhǎng)即可建立一種幾何學(xué)?！皽y(cè)地線”是指在兩點(diǎn)間使弧長(zhǎng)最短的那條曲線，它是平面上直線的推廣，此外還可以有面積及其他種種概念。
　　黎曼幾何在二維的情形最初是高斯發(fā)展的。他在1827年寫(xiě)了一本差不多50頁(yè)的小冊(cè)子，研究在二維即曲面的情形及在這樣的 ds2 下，所能夠發(fā)展的幾何性質(zhì)。他的目的是為了應(yīng)用，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的德國(guó)政府要他主持一項(xiàng)測(cè)量工作，為了給這項(xiàng)測(cè)量工作一個(gè)理論基礎(chǔ)，高斯便寫(xiě)下了這篇在微分幾何上最重要的論文，微分幾何自此誕生。以前把微積分用于幾何上的問(wèn)題，只能說(shuō)是微積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，在高斯這篇文章之后，微分幾何便成了一門(mén)獨(dú)立的學(xué)問(wèn)，就是從 ds2 得到一切的幾何性質(zhì)。
　　1854年，黎曼在為取得大學(xué)教授資格的公開(kāi)演講上，發(fā)表了關(guān)于黎曼幾何的第一篇論文。黎曼幾何并不像我們所談的歐兒里得幾何，或者克萊因的埃爾蘭根綱領(lǐng)幾何，或者投影幾何，這些幾何都需要整個(gè)的空間，而在黎曼幾何的情形下，我們只需要空間的一部分。因?yàn)橹灰?ds2 有意義，我們不需要知道全部的空間，便可度量弧長(zhǎng)、面積、角度等幾何性質(zhì)，也就是說(shuō)，在這樣的一個(gè)小塊里，便可發(fā)展全部的幾何性質(zhì)。這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化。這和物理上的場(chǎng)論是完全符合的。
　　真正使黎曼幾何受到重視的是愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論。大致說(shuō)起來(lái)，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是要把物理幾何化，也就是說(shuō)把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)。因此黎曼幾何就成為物理學(xué)家一定要學(xué)的一門(mén)數(shù)學(xué)。黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因?yàn)槔杪臻g是高維的，所以它的曲率概念就變得相當(dāng)復(fù)雜。在愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的基本公式里，大致說(shuō)起來(lái)，物理的力是一種曲率；數(shù)學(xué)家講曲率和物理學(xué)家講力其實(shí)是同一個(gè)概念。

　　六、幾何整體化
　　黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠(yuǎn)只在一個(gè)小區(qū)域里面，所以局部化之后又要整體化，又要把它擴(kuò)充到全空間。幾何整體化可說(shuō)是幾何學(xué)的第五個(gè)發(fā)展。而在這個(gè)整體化的擴(kuò)充中，最要緊的就是拓?fù)鋵W(xué)，即俞大維先生說(shuō)的“橡皮幾何學(xué)”。只要我們不把一個(gè)圖形扯破，那么就有些幾何性質(zhì)雖經(jīng)過(guò)放大、縮小……等很大的變換，也不會(huì)改變，例如虧格（研究電磁學(xué)的重要基礎(chǔ)）這個(gè)性質(zhì)。比方說(shuō)，我們?cè)谝粋€(gè)二次的曲面上挖兩個(gè)洞，那么它的虧格就等于2，或者像美國(guó)的甜甜圈只有一個(gè)洞，虧格就是1，即虧格等于洞的個(gè)數(shù)。把曲面放大縮小之后虧格這個(gè)數(shù)目仍舊不變，這是拓?fù)洳蛔兪降囊粋€(gè)例子，另外還有一個(gè)例子是關(guān)于結(jié)（研究 DNA 結(jié)構(gòu)的重要基礎(chǔ)），例如三維空間中一條封閉的曲線，沒(méi)有辦法把它解開(kāi)成一圓周，即所謂結(jié)。
　　大家覺(jué)得微分幾何應(yīng)該是很有用的，因?yàn)樵谖锢韺W(xué)發(fā)展之中，電磁學(xué)對(duì)人類日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA 的結(jié)構(gòu)也是生物科學(xué)對(duì)人類生活最有影響的一門(mén)學(xué)問(wèn)。而微分幾何就是研究這兩門(mén)學(xué)問(wèn)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這讓我們聯(lián)想到一位有名的理論物理學(xué)家維格納所寫(xiě)的一篇文章The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences，可譯作“為什么數(shù)學(xué)會(huì)有用？”。光玩玩虧格、結(jié)，竟也能找到有用的數(shù)學(xué)性質(zhì)，提供了很好的應(yīng)用，他覺(jué)得很不可思議。在這篇文章的開(kāi)頭，他舉了一個(gè)更簡(jiǎn)單的例子:有兩個(gè)中學(xué)同學(xué)，畢業(yè)后各奔前程，若干年后，兩人再度會(huì)面，甲問(wèn)乙近幾年在研究什么?乙說(shuō)他在研究人口問(wèn)題，甲便欣賞了一下乙的論文，發(fā)現(xiàn)論文里頭總有個(gè)π。我們都知道π是圓周率，怎么會(huì)和人口問(wèn)題發(fā)生關(guān)系?這也是一個(gè)最粗淺的例子，告訴我們:基本的發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候不一定要求立刻就有應(yīng)用，很可能結(jié)果會(huì)有更大的應(yīng)用。
　　談到微分幾何，人們經(jīng)常會(huì)想到陳省身先生，會(huì)提到楊振寧先生贈(zèng)陳省身先生的一首詩(shī):
　　天衣豈無(wú)縫，匠心剪接成。
　　渾然歸一體。廣邃妙絕倫。
　　造化愛(ài)幾何，四力纖維能。
　　千古寸心事，歐高黎嘉陳。
　　詩(shī)中的“四力”指引力、電磁力、弱力和強(qiáng)力。這四種力的能都是規(guī)范場(chǎng)，規(guī)范場(chǎng)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)則是纖維叢的聯(lián)絡(luò)。楊先生將陳省身和歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當(dāng)并稱。陳省身和匈牙利數(shù)學(xué)家埃爾德什共同獲得了1984年度的沃爾夫獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)證書(shū)上寫(xiě)道:“此獎(jiǎng)授予陳省身，因?yàn)樗谡w微分幾何上的卓越成就，其影響遍及整個(gè)數(shù)學(xué)”。這也是我們中華民族的驕傲。

　　討論與思考：
　　1、中國(guó)古代數(shù)學(xué)的主要缺陷是什么？
　　2、埃爾蘭根綱領(lǐng)的要點(diǎn)是什么？
　　3、幾何學(xué)的發(fā)展大致經(jīng)歷了哪幾個(gè)階段？