四維空間和三維空間有什么區(qū)別？

大隆龍 2017-11-05

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對這個問題的回答，首先要確定題主想問的是“四維空間”還是“四維時空”。這兩個概念有很大的區(qū)別，下面來分別解釋一下。

一，什么是四維空間？

超過三維的空間，即高維空間，作為幾何對象是很難理解的，作為代數(shù)對象卻很容易理解。

根據(jù)我們?nèi)粘σ痪S（線）、二維（面）、三維（體）空間的印象，一個空間有幾維，就是在這個空間中能夠做幾條互相垂直的直線，或者說有幾個互相垂直的方向。你面前一條左右伸展的直線上，只有左右方向。你面前一張鋪開的白紙上，有左右方向加上下方向。你面前的整個空間中，有左右方向、上下方向和前后方向。

以此類推，四維空間就是在左右、上下和前后之外，還有一個與它們垂直的方向的空間。這個定義一目了然，人腦卻難以想象出來（不排除有些數(shù)學家經(jīng)過特殊訓練有可能想象出來），因為我們?nèi)粘Ｒ姷降目臻g是三維空間，不存在這第四個方向。四維都想象不出來，更高維度就更不用說了。所以說，高維空間作為幾何對象是很難理解的。

從代數(shù)的觀點看，n維的空間就是所有的滿足以下性質(zhì)的矢量的集合：（1）有n個互相垂直的基礎矢量屬于此集合，垂直的定義是純粹代數(shù)的，即兩個矢量的“內(nèi)積”等于0；（2）此集合中任何一個矢量都等于這n個基礎矢量乘以某些常數(shù)后相加（即這些基礎矢量的線性疊加），例如2乘以第一個基礎矢量，加上3乘以第二個基礎矢量，加上0.5乘以第三個基礎矢量，加上0乘以后面的基礎矢量。你如果能看懂，太好了。如果看不懂，沒辦法，只能說這是大學里線性代數(shù)的內(nèi)容，等你學到線性代數(shù)就明白了。這個定義的妙處是完全不需要空間想象，無論多少維在數(shù)學表述上都是一樣的。所以說，高維空間作為代數(shù)對象很容易理解。

二，什么是四維時空？

四維時空的第四維，不是左右、上下、前后之外的第四個空間方向，而是時間。更專業(yè)一點的說法，是“虛時間”，即虛數(shù)單位i（-1的平方根）乘以時間。

為什么會出現(xiàn)這么一個概念？這是因為在相對論中，用(x, y, z, t)這四個數(shù)標記一個在t時刻發(fā)生在(x, y, z)這一點的事件，這個事件的這個時空坐標當然跟坐標系有關(guān)，但兩個事件之間的下列關(guān)系卻跟坐標系無關(guān)：d^2 = (x1 - x2)^2 + (y1- y2)^2 + (z1- z2)^2 - (ct)^2。注意最后一個平方之前是減號，c是光速（大約30萬公里每秒）。

想一下，在三維空間中我們是怎么定義距離的？兩個點(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)之間的距離，即d = sqrt[(x1 - x2)^2 + (y1- y2)^2 + (z1- z2)^2]。如果你改變原點或者改變坐標軸的方向，就可以改變這兩個點的坐標，但是它們之間的距離不會變。因此，把某個坐標軸叫做x軸，把另一個坐標軸叫做y軸等等，完全是隨意的，做一下坐標旋轉(zhuǎn)就可以把它們混合在一起。真正重要的是它們的整體，而不是其中單獨一個。

根據(jù)同樣的思想，我們立刻就可以理解，相對論中的那個不變量說明空間跟時間沒有絕對的區(qū)別，它們之間的關(guān)系就像三維坐標系中x軸、y軸、z軸的關(guān)系一樣，純粹是人為選定的，換一個坐標系就可能混合在一起。因此，在相對論中真正重要的，既不是時間，也不是空間，而是兩者組合成的“時空”。

唯一看起來有點麻煩的是，(ct)^2前面是個減號。沒關(guān)系，我們用一下虛數(shù)單位i就行?，F(xiàn)在，每一個事件都可以用(x, y, z, ict)這一組坐標來表示，兩個事件之間的“距離”d = sqrt[(x1 - x2)^2 + (y1- y2)^2 + (z1- z2)^2 + (ict1 - ict2)^2]跟坐標系的選擇無關(guān)。