5.2 羅必塔法則

如果兩個(gè)函數(shù), 當(dāng)(或)時(shí)都趨于零, 或者都趨于無窮大, 則極限可能存在, 也可能不存在.  通常我們把這兩類極限分別叫做型或型不定式, 它們的極限不能用通常的極限運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.  本節(jié)根據(jù)柯西中值定理, 推證出一些利用導(dǎo)數(shù)求極限的簡(jiǎn)單方法,. 這種方法通常稱為羅必塔法則.

5.2.1 型不定式

定理5.2.1.（羅必塔法則1）若函數(shù)與滿足下列條件：

    (1) 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且；

    (2) ；

    (3) ．

則                    

    證  因，故可以分別對(duì)與在處補(bǔ)充定義，得二新函數(shù)

，

    在的鄰域內(nèi)都連續(xù)，從而，，在閉區(qū)間滿足柯西中值定理的條件，所以存在使得

于是，         

同理可證：，從而．故

                                           □

    定理5.2.2（羅必塔法則2）若函數(shù)與滿足下列條件：

    (1) 在內(nèi)可導(dǎo)，且；

    (2) ；

    (3) ．

則      

    證法 應(yīng)用變換式，將變成，而函數(shù)與在的去心鄰域內(nèi)滿足羅必塔法則1．

    證  設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，即

且 ,  根據(jù)羅必塔法則1，有

即

                                      □

5．2．2  型不定式

    定理5.2.3（羅必塔法則3）若函數(shù)與滿足下列條件：

    (1) 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)且；

    (2) ；

    (3) ．

則

    證 由條件(2)，可設(shè)與在內(nèi)都不等于零．現(xiàn)在我們證明．

    因，故對(duì)，使得時(shí)，恒有

                                           (4)

    任取，在區(qū)間滿足柯西中值定理的條件，因此，存在使得

由(4)，有

                                          (5)

另一方面，

由式(5)，上式右端第一個(gè)因子是有界變量，第二個(gè)因子對(duì)固定的，由條件2)，當(dāng)時(shí)極限為0．因此，存在，使得，有

                                      (6)

綜合(2)、(3)，對(duì)，有

從而                        

    同理可證：               ．

即                     .                   □

    定理5.2.4（羅必塔法則4）若函數(shù)與滿足下列條件：

(1)    在內(nèi)可導(dǎo)，且；

    (2) ；

    (3) ．

則                        . 

此定理與羅必塔法則2的證明方法完全類似，我們留給讀者作為練習(xí)．

細(xì)心的讀者可能在上述各定理的證明中已經(jīng)看到：?jiǎn)芜厴O限的情形（即，或）也有相應(yīng)的羅必塔法則．讀者在實(shí)用微積分中已經(jīng)看到這些法則在求極限中有著很好的應(yīng)用．

從上面可知：羅必達(dá)法則求極限實(shí)際上是將函數(shù)之比的極限歸結(jié)為它們的導(dǎo)數(shù)之比的極限．在求極限過程中，如果使用一次羅必達(dá)法則仍是型或型，還可以繼續(xù)使用羅必達(dá)法則，直到不是型或型為止．.

 5.2.3 其他類型的不定式

我們用“0”和“1”分別表示0和1為極限的函數(shù),不定式除型和型外，還有五種：．這五種不定式都可以轉(zhuǎn)化為型或型．

典型例題：

    例5.2.1  求下列各極限．

     (1)                     (2)

解：(1) 

 (2) 

    例5.2.2  求下列各極限．

(1)                (2)

    解：(1)

        (2)

例 5.2.3 求下列各極限

(1)                                   (2) 

解　(1) ===;

(2)  ====0·1=0

例5.2.4  求下列各極限

(1)    

(2) 計(jì)算.

    解：(1)  .

     (2) ,  

    對(duì)于，存在，使，即，應(yīng)用n次羅必達(dá)法則，有：

故

    例5.2.5  計(jì)算

    解：=

    例5.2.6  計(jì)算  

    解：

其中　

從而,            

    例5.2.7  計(jì)算   (型)

    解：

    例5.2.8 計(jì)算  

    解：

    例5.2.9  計(jì)算  

    解：=