導讀：當求解動力平衡的狀態(tài)時，ABAQUS有一條簡單、固定的光滑步驟（smoothstep）幅值曲線，當你定義一個光滑步驟幅值曲線時，應用一條光滑步驟幅值曲線，變形形狀顯示了很好的準靜態(tài)響應，雖然整個結構的響應顯示了我們所希望的準靜態(tài)結果，例如應用一條光滑步驟幅值曲線，應用光滑步驟幅值曲線，它顯示出毛坯具有140Hz的基頻，準靜態(tài)分析——ABAQUS/Explicit準靜態(tài)過程（guasi-stat

準靜態(tài)分析——ABAQUS/Explicit 準靜態(tài)過程（guasi-static process）

在過程進行的每一瞬間，系統(tǒng)都接近于平衡狀態(tài)，以致在任意選取的短時間dt內(nèi)，狀態(tài)參量在整個系統(tǒng)的各部分都有確定的值，整個過程可以看成是由一系列極接近平衡的狀態(tài)所構成，這種過程稱為準靜態(tài)過程。無限緩慢地壓縮和無限緩慢地膨脹過程可近似看作為準靜態(tài)過程。準靜態(tài)過程是一種理想過程，實際上是辦不到的。

準靜態(tài)原為一個熱力學概念，在這里引用主要是指模型在加載的過程中任意時刻所經(jīng)歷的中間狀態(tài)都可近似地視為靜力狀態(tài)，因此當加載過程進行得無限緩慢時，在各個時刻模型所處的狀態(tài)就可近似地看作是靜態(tài)，該過程便是準靜態(tài)過程。準靜態(tài)嚙合過程仿真主要考慮的是弧齒錐齒輪副在加載時的接觸狀態(tài)，以及齒面和齒根的應力變化規(guī)律，其前提是不考慮齒輪副慣性的影響。

ABAQUS/Explicit準靜態(tài)分析

顯式求解方法是一種真正的動態(tài)求解過程，它的最初發(fā)展是為了模擬高速沖擊問題，在這類問題的求解中慣性發(fā)揮了主導性作用。當求解動力平衡的狀態(tài)時，非平衡力以應力波的形式在相鄰的單元之間傳播。由于最小穩(wěn)定時間增量一般地是非常小的值，所以大多少問題需要大量的時間增量步。

在求解準靜態(tài)問題上，顯式求解方法已經(jīng)證明是有價值的，另外ABAQUS/Explicit在求解某些類型的靜態(tài)問題方面比ABAQUS/Standard更容易。在求解復雜的接觸問題時，顯式過程相對于隱式過程的一個優(yōu)勢是更加容易。此外，當模型很大時，顯式過程比隱式過程需要較少的系統(tǒng)資源。

將顯式動態(tài)過程應用于準靜態(tài)問題需要一些特殊的考慮。根據(jù)定義，由于一個靜態(tài)求解是一個長時間的求解過程，所以在其固有的時間尺度上分析模擬常常在計算上是不切合實際的，它將需要大量的小的時間增量。因此，為了獲得較經(jīng)濟的解答，必須采取一些方式來加速問題的模擬。但是帶來的問題是隨著問題的加速，靜態(tài)平衡的狀態(tài)卷入了動態(tài)平衡的狀態(tài)，在這里慣性力成為更加起主導作用的力。目標是在保持慣性力的影響不顯著的前提下用最短的時間進行模擬。

準靜態(tài)（Quasi-static）分析也可以在ABAQUS/Standard中進行。當慣性力可以忽略時，在ABAQUS/Standard中的準靜態(tài)應力分析用來模擬含時間相關材料響應（蠕變、膨脹、粘彈性和雙層粘塑性）的線性或非線性問題。關于在ABAQUS/Standard中準靜態(tài)分析的更多信息，請參閱ABAQUS分析用戶手冊（ABAQUS Analysis User’s Manual）的第6.2.5節(jié)―Quasi-static analysis‖。

1. 顯式動態(tài)問題類比

假設兩個載滿了乘客的電梯。在緩慢的情況下，門打開后你步入電梯。為了騰出空間，鄰近門口的人慢慢地推他身邊的人，這些被推的人再去推他身邊的人，如此繼續(xù)下去。這種擾動在電梯中傳播，直到靠近墻邊的人表示他們無法移動為止。一系列的波在電梯中傳播，直到每個人都到達了一個新的平衡位置。如果你稍稍加快速度，你會比前面更用力地推動你身邊的人，但是最終每個人都會停留在與緩慢的情況下相同的位置。

在快速情況下，門打開后你以很高的速度沖入電梯，電梯里的人沒有時間挪動位置來重新安排他們自己以便容納你。你將會直接地撞傷在門口的兩個人，而其他人則沒有受到影響。

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對于準靜態(tài)分析，實際的道理是同樣的。分析的速度經(jīng)?？梢蕴岣咴S多而不會嚴重地降低準靜態(tài)求解的質量；緩慢情況下和有一些加速情況下的的最終結果幾乎是一致的。但是，如果分析的速度增加到一個點，使得慣性影響占主導地位時，解答就會趨向于局部化，而且結果與準靜態(tài)的結果是有一定區(qū)別的。 2. 加載速率

一個物理過程所占用的實際時間稱其為它的固有時間（nature time）。對于一個準靜態(tài)過程在固有時間中進行分析，我們一般能得到準確的靜態(tài)結果。畢竟，如果實際事件真實地發(fā)生在其固有時間尺度內(nèi)，并在結束時其速度為零，那么動態(tài)分析應該能夠得到這樣的事實，即分析實際上已經(jīng)達到了穩(wěn)態(tài)。你可以提高加載速率使相同的物理事件在較短的時間內(nèi)發(fā)生，只要解答保持與真實的靜態(tài)解答幾乎相同，而且動態(tài)效果保持是不明顯的。 2.1 光滑幅值曲線

對于準確和高效的準靜態(tài)分析，要求施加的載荷盡可能地光滑。突然、急促的運動會產(chǎn)生應力波，它將導致振蕩或不準確的結果。以可能最光滑的方式施加載荷要求加速度從一個增量步到下一個增量步只能改變一個小量。如果加速度是光滑的，隨其變化的速度和位移也是光滑的。

ABAQUS有一條簡單、固定的光滑步驟（smooth step）幅值曲線，它自動地創(chuàng)建一條光滑的載荷幅值。當你定義一個光滑步驟幅值曲線時，ABAQUS自動地用曲線連接每一組數(shù)據(jù)對，該曲線的一階和二階導數(shù)是光滑的，在每一組數(shù)據(jù)點上，它的斜率都為零。由于這些一階和二階導數(shù)都是光滑的，你可以采用位移加載，應用一條光滑步驟幅值曲線，只用初始的和最終的數(shù)據(jù)點，而且中間的運動將是光滑的。使用這種載荷幅值允許你進行準靜態(tài)分析而不會產(chǎn)生由于加載速率不連續(xù)引起的波動。 2.2 結構問題

在靜態(tài)分析中，結構的最低模態(tài)通?？刂浦Y構的響應。如果已知最低模態(tài)的頻率和相應的周期，你可以估計出得到適當?shù)撵o態(tài)響應所需要的時間。為了說明如何確定適當?shù)募虞d速率，考慮在汽車門上的一根梁被一個剛性圓環(huán)從側面侵入的變形，實際的實驗是準靜態(tài)的。采用不同的加載速率，梁的響應變化很大。以一個極高的碰撞速度為400m/s，在梁中的變形是高度局部化的。為了得到一個更好的準靜態(tài)解答，考慮最低階的模態(tài)。

最低階模態(tài)的頻率大約為250Hz，它對應于4ms的周期。應用在ABAQUS/Standard中的特征頻率提取過程可以容易地計算自然頻率。為了使梁在4ms內(nèi)發(fā)生所希望的0.2m的變形，圓環(huán)的速度為50m/s。雖然50m/s似乎仍然像是一個高速碰撞速度，而慣性力相對于整個結構的剛度已經(jīng)成為次要的了，變形形狀顯示了很好的準靜態(tài)響應。雖然整個結構的響應顯示了我們所希望的準靜態(tài)結果，但通常理想的是將加載時間增加到最低階模態(tài)的周期的10倍以確保解答是真正的準靜態(tài)。為了更進一步地改進結果，剛環(huán)的速度可能會逐漸增大，例如應用一條光滑步驟幅值曲線，從而減緩初始的沖擊。 2.3 金屬成形問題

為了獲得低成本的求解過程，人為地提高成型問題的速度是必要的，但是，我們能夠把速度提高多少仍可以獲得可接受的靜態(tài)解答呢？如果薄金屬板毛坯的變形對應于其最低階模態(tài)的變形形狀，可以應用最低階結構模態(tài)的時間周期來指導成型的速度。然而在成型過程中，剛性的沖模和沖頭能夠以如此的方式約束沖壓，使坯件的變形可能與結構的模態(tài)無關。在這種情況下，一般性的建議是限制沖頭的速度小于1%的薄金屬板的波速。對于典型的成型過程，沖頭速度是在1m/s的量級上，而鋼的波速大約為5000m/s。因此根據(jù)這個建議，一個50的因數(shù)為沖頭提高速度的上限。

為了確定一個可接受的沖壓速度，建議的方法包括以各種變化的沖壓速度運行一系列的分析，這些速度在3m/s至50m/s的范圍內(nèi)。由于求解的時間與沖壓的速度成反比，運行分析是以沖壓速度從最快到最慢的順序進行。檢查分析的結果，并感受變形形狀、應力和應變是如

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何隨沖壓速度而改變的。沖壓速度過高的一些表現(xiàn)是與實際不符的、局部化的拉伸與變薄，以及對起皺的抑止。如果你從一個沖壓速度開始，例如50m/s，并從某處減速，在某點上從一個沖壓速度到下一個沖壓速度的解答將成為相似的，這說明解答開始收斂于一個準靜態(tài)的解答。當慣性的影響成為不明顯時，在模擬結果之間的區(qū)別也是不明顯的。

隨著人為地增加加載速率，以逐漸和平滑的方式施加載荷成為越來越重要的方式。例如，最簡單的沖壓加載方式是在整個成型過程中施加一個定常的速度。在分析開始時，如此加載會對薄金屬板坯引起突然的沖擊載荷，在坯件中傳播應力波并可能產(chǎn)生不希望的結果。當加載速率增加時，任何沖擊載荷對結果的影響將更加明顯。應用光滑步驟幅值曲線，使沖壓速度從零逐漸增加可以使這些不利的影響最小化。 2.4 回彈

回彈經(jīng)常是成型分析的一個重要部分，因為回彈分析決定了卸載后部件的最終形狀。盡管ABAQUS/Explicit十分適合于成型模擬，對回彈分析卻遇到某些特殊的困難。在

ABAQUS/Explicit中進行回彈模擬最主要的問題是需要大量的時間來獲得穩(wěn)態(tài)的結果。特別是必須非常小心地卸載，并且必須引入阻尼以使得求解的時間比較合理。幸運的是，在ABAQUS/Explicit和ABAQUS/Standard之間的緊密聯(lián)系允許一種更有效的方法。

由于回彈過程不涉及接觸，而且一般只包括中度的非線性，所以ABAQUS/Standard可以求解回彈問題，并且比ABAQUS/Explicit求解得更快。因此，對于回彈分析更偏愛的方法是將完整的成型模型從ABAQUS/Explicit輸入（import）到ABAQUS/Standard中進行。 3. 質量放大

質量放大（mass scaling）可以在不需要人為提高加載速率的情況下降低運算的成本。對于含有率相關材料或率相關阻尼（如減震器）的問題，質量放大是惟一能夠節(jié)省求解時間的選擇。在這種模擬中，不要選擇提高加載速度，因為材料的應變率會與加載速率同比例增加。當模型的參數(shù)隨應變率變化時，人為地提高加載速率會人為地改變了分析的過程。

人為地將材料密度增加因數(shù)倍，則波速就會降低因數(shù)f倍，從而穩(wěn)定時間增量將提高因數(shù)f倍。注意到當全局的穩(wěn)定極限增加時，進行同樣的分析所需要的增量步就會減少，而這正是質量放大的目的。但是，放大質量對慣性效果與人為地提高加載速率恰好具有相同的影響。因此，過度地質量放大，正像過度地加載速率，可能導致錯誤的結果。為了確定一個可接受的質量放大因數(shù)，所建議的方法類似于確定一個可接受的加載速率放大因數(shù)。兩種方法的唯一區(qū)別是與質量放大相關的加速因子是質量放大因數(shù)的平方根，而與加載速率放大相關的加速因子是與加載速率放大因數(shù)成正比。例如，一個為100倍的質量放大因數(shù)恰好對應于10倍的加載速率因數(shù)。

通過使用固定的或可變的質量放大，可以有多種方法來實現(xiàn)質量放大編程。質量放大的定義也可以隨著分析步而改變，允許有很大的靈活性。詳細的內(nèi)容請參閱ABAQUAS分析用戶手冊第7.15.1節(jié)―Mass scaling‖。 4. 能量平衡

評估模擬是否產(chǎn)生了正確的準靜態(tài)響應，最具有普遍意義的方式是研究模型中的各種能量。下面是在ABAQUS/Explicit中的能量平衡方程：

Etotal=EI+EV+EKE+EFD+EW

式中，EI是內(nèi)能（包括彈性和塑性應變能），EV是粘性耗散吸收的能量，EKE是動能，EFD是摩擦耗散吸收的能量，EW是外力所做的功，Etotal是在系統(tǒng)中的總能量。

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如果模擬是準靜態(tài)的，那么外力所做的功是幾乎等于系統(tǒng)內(nèi)部的能量。除非有粘彈性材料、離散的減震器、或者使用了材料阻尼，否則粘性耗散能量一般地是很小的。由于在模型中材料的速度很小，所以在準靜態(tài)過程中，我們已經(jīng)確定慣性力可以忽略不計。由這兩個條件可以推論，動能也是很小的。作為一般性的規(guī)律，在大多數(shù)過程中，變形材料的動能將不會超過它的內(nèi)能的一個小的比例（典型的為5%到10%）。

當比較能量時，請注意ABAQUS/Explicit報告的是整體的能量平衡，它包括了任何含有質量的剛體的動能。由于當評價結果時我們只對變形體感興趣，當評價能量平衡時我們應在Etotal中扣除剛體的動能。

例如，如果你正在模擬一個采用滾動剛體模具的傳輸問題，剛體的動能可能占據(jù)模型整個動能的很大部分。在這種情況下，你必須扣除與剛體運動有關的動能，然而才可能做出與內(nèi)能有意義的比較。

5. 例題：ABAQUS/Explicit凹槽成型

修改由ABAQUS/Standard分析所創(chuàng)建的模型，這樣才能在ABAQUS/Explicit中運行它。這些修改包括在材料模型中增加密度，改變單元庫，并改變分析步。為了獲得正確的準靜態(tài)響應，在運行ABAQUS/Explicit分析前，你將應用在ABAQUS/Standard的頻率提取過程來確定所需要的計算時間。

5.1 前處理——應用ABAQUS/Explicit重新運算模型

對于一個準靜態(tài)過程，如果我們知道了坯件的最低階固有頻率，即基（fundamental）頻，我們就可以確定分析步時間的一個大致的下限。一種獲得這個信息的方法是在

ABAQUS/Standard中運行頻率分析。在這個成型分析中，沖壓對坯件產(chǎn)生的變形類似于它的最低階模態(tài)。因此，如果你想模擬整個結構而并非局部的變形，選擇第一個成型階段的時間是大于或等于坯件最低階模態(tài)的周期是十分重要的。 運行一個固有頻率提取過程：

①．將已存在的模型復制成為一個新的模型，命名為Frequency，并對Fequency模型進行如下全面的修改：在頻率提取分析中，你將用一個單獨的頻率提取分析步取代現(xiàn)在所有的分析步。此外，你將刪除所有的剛性工具和接觸相互作用；它們與確定毛坯的基頻無關。 ②．在Property模塊中，為Steel材料模型增加一個7800的密度。

③．在Assembly模塊中，刪除沖模、沖頭和夾具部件的實體。對于頻率分析并不需要這些剛體部件。（提示：你可以從工具箱中采用Delete工具刪除這些部件。） ④．進入Step模塊，用一個單獨的頻率提取分析步替代現(xiàn)存的所有分析步。

a. 在Step Manager（分析步管理器）中，刪除分析步Remove Right Constraint、Holder Force、 Establish Contact II和Move Runch。

b. 選擇分析步Establish Contact I，并點擊Replace。

c. 在Repalce Step（替換分析步）對話框中，從Linear Parturbation過程列表中選擇Frequency，鍵入分析步描述為Frequency modes；選擇Lanczos特征值選項，并要求五個特征值。重新命名分析步為Extract Frequencies。

d. 取消DOF Monitor（自由度監(jiān)視器）選項。

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（注意：由于頻率提取分析步是一個線性擾動過程，將忽略材料的非線性性質。在這個分析中，坯件的左端約束沿x-方向的位移和繞法線的轉動；但是，沒有約束沿y-方向的位移。因此，提取的第一階模態(tài)將是剛體模態(tài)。對于在ABAQUS/Explicit中的準靜態(tài)分析，第二階模態(tài)的頻率將確定合適的時間段。）

⑤．在Interaction模塊，刪除所有的接觸相互作用。

⑥．進入Load模塊，在BC Manager（邊界條件管理器）中檢查在Extract Frequencies分析步中的邊界條件。除了邊界條件名稱CenterBC以外，刪除所有的邊界條件。將這個留下的采用了對稱邊界條件的毛坯約束施加到左端。

⑦. 在創(chuàng)建和提交作業(yè)前，如果有必要則重新剖分網(wǎng)格。

⑧. 進入Job模塊，創(chuàng)建一個作業(yè)，命名為Forming-Frequency，采用如下的作業(yè)描述：Channel forming –- frequency analysis。提交作業(yè)進行分析，并監(jiān)控求解過程。

⑨．當分析完成時，進入Visualization模塊，并打開由這個作業(yè)創(chuàng)建的輸出數(shù)據(jù)庫文件。從主菜單欄中，選擇Plot-->Deformed Shape；或者應用在工具箱中的工具。繪制出一階屈曲模態(tài)的模型變形形狀。進一步繪出毛坯的二階模態(tài)，將未變形的模型形狀疊加在模型變形圖上。 頻率分析表明坯件有一個140 Hz的基頻，對應的周期為0.00714 s。對于成型分析，我們現(xiàn)在知道最短的分析步時間為0.00714 s。 創(chuàng)建ABAQUS/Explicit成型分析

成型過程的目標是采用0.03m的沖頭位移準靜態(tài)地成型一個凹槽。在選擇準靜態(tài)分析的加載速率時，建議你在開始時用較快的加載速率，并根據(jù)需要減小加載速率，更快地收斂到一個準靜態(tài)解答。然而，如果你希望在你的第一次分析嘗試中就增加能夠得到準靜態(tài)結果的可能性，你應當考慮分析步時間是比相應的基頻緩慢10到50倍的因數(shù)。在這個分析中，對于成型分析步，你將從0.007s的時間開始。這是基于在ABAQUS/Standard中進行的頻率分析，它顯示出毛坯具有140Hz的基頻，對應于0.00714s的時間周期。這個時間周期對應于4.3 m/s的常數(shù)沖頭速度。你將仔細地檢查動能和內(nèi)能的結果，以檢驗結果中并沒有包含顯著的動態(tài)影響。

將Standard模型復制成一個新模型，命名為Explicit。如果必要，通過從位于工具欄下方的Model（模型）列表中選擇Explicit模型作為當前的模型。使所有接下來的模型改變成為Explicit模型。

在ABAQUS/Standard分析中，在沖頭和坯件之間模擬一個初始的縫隙以便于接觸計算。在ABAQUS/Explicit分析中則不需要采取這種預防措施。因此，在Assembly模塊中，沿U2方向平移沖頭-0.001 m。在警告對話框中出現(xiàn)的關于相對和絕對約束中，點擊Yes。

在毛坯夾具上施加一個集中力，為了計算夾具的動態(tài)反應，必須在剛性體的參考點上賦予一個點質量。夾具的實際質量是不重要的；而重要的是它的質量必須與毛坯的質量（0.78 kg）具有同一個數(shù)量級，以使在接觸計算中的振蕩最小化。選擇數(shù)值為0.1 kg的點質量。在Property模塊中，創(chuàng)建一個點的截面定義，命名為Pointmass。在Edit Section對話框的Inertial Properties域中，鍵入0.1點質量的值。在參考點RigidRefHolder應用這個截面定義。此外，編輯Steel材料定義來包括7800 kg/m3的質量密度。

進入Step模塊。你需要為ABAQUS/Explicit分析創(chuàng)建兩個分析步。在第一個分析步中施加夾具力；在第二個分析步中施加沖頭壓下力。除了命名為Establish Contact I的分析步之外，刪除所有其他的分析步，并用一個單一的顯式動態(tài)分析步替換這個分析步。