離散幾何學(xué)（Discrete Geometry）研究的是點(diǎn)、線、圓、多邊形和其他幾何對象的的組合性質(zhì)。例如它會(huì)思考如下問題：在一個(gè)球的周圍，最多有多少個(gè)相同尺寸的球能被擺放在它周圍？或者，在一個(gè)平面上，如何以最密集的方式排列相同大小的圓？又或者在一個(gè)收納空間中，如何放置最多數(shù)量的球？這類問題都需通過離散幾何來解答。

事實(shí)上，此類問題的解決方案具有很大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。比如密集填充問題有助于優(yōu)化代碼并糾正數(shù)據(jù)傳輸中的錯(cuò)誤。又如著名的四色定理，它描述的是用四種顏色就足以繪制球面上的這樣一個(gè)地圖，使得圖中任何相鄰的兩個(gè)區(qū)域都具有不同的顏色。它促使數(shù)學(xué)家引進(jìn)了圖論（Graph Theory）的重要概念，這對于許多近期在化學(xué)、生物和計(jì)算機(jī)科學(xué)以及邏輯系統(tǒng)上的發(fā)展都至關(guān)重要。

○ 四色定理的一個(gè)例子。| 圖片來源：ACM.ORG

László Fejes Tóth 的區(qū)域猜想與離散幾何中的一些其他問題也密切相關(guān)，這些問題已在20世紀(jì)就被解決，涉及到用條帶覆蓋表面。其中第一個(gè)就是所謂的木板問題（Plank Problem），涉及到用平行線組成的條帶覆蓋住圓盤。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一個(gè)簡潔的方式證明了用來覆蓋圓面的條帶（或木板）的寬度的和至少等于圓的直徑。也就是說，沒有比用一個(gè)寬度與圓的直徑相等的木板更好的方法用來覆蓋圓盤。接著，Th?ger Bang 解決了用長條覆蓋任意凸體的問題。也就是說，他證明了覆蓋凸體的條帶的總寬度至少是凸體本身的寬度，即單個(gè)用于覆蓋凸體的條帶的最小寬度。

○ Tarski證明了，一個(gè)半徑為1的單位圓不能被寬度和小于2（即圓的直徑）的條帶完全覆蓋。圖中每個(gè)條帶都有自己的長度和顏色。| 圖片來源：MIPT

Zilin Jiang 和Alexandr Polyanskii 處理的問題有些不同，它涉及到的是關(guān)于用具有特殊構(gòu)造的區(qū)域來覆蓋一個(gè)單位球體。具體而言，每個(gè)區(qū)域都是球體與一個(gè)特定的三維板條的交叉，其中板條是包含在相對于球體的中心對稱的兩個(gè)平行平面之間的空間區(qū)域。或者可以不用木板，而在測地線的度量空間里定義區(qū)域：一個(gè)在單位球表面的寬度為ω的區(qū)域，是距離大圓（球面上半徑等于球體半徑的圓?。┎怀^±ω/2的點(diǎn)的集合，測量點(diǎn)與點(diǎn)間距離的是連接它們的最短弧。數(shù)學(xué)家必須找到能覆蓋單位球體上這些區(qū)域的最小寬度的和。因此，問題不同于之前解決的寬度測量的問題：它被定義為弧的長度，而不是平行線或面之間的歐幾里德距離。

○ 在球體上一個(gè)寬度為ω的區(qū)域（黃）。| 圖片來源：MIPT

Jiang 和 Polyanskii 所作出的證明是受到了 Bang 的啟發(fā)，Bang 通過形成一組有限點(diǎn)集解決了用條帶覆蓋凸體表面的問題，其中一個(gè)假設(shè)沒有被任何條帶覆蓋。從某種意義上來說，無論是 Bang 還是 Jiang 和 Polyanskii 都是通過矛盾來證明的。在 FejesTóth 猜想的情況下，數(shù)學(xué)家假設(shè)完全覆蓋球體的區(qū)域的合并寬度小于π，并試圖達(dá)到矛盾點(diǎn)——即找到一個(gè)位于球體上的點(diǎn)，但又不在任何這些區(qū)域里。

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