典型例題

　　例1、如圖，已知：在⊙O中， =2 ，試判斷∠AOB與∠COD，AB與2CD之間的關(guān)系，并說明理由.

　　分析：根據(jù)條件確定圖形，觀察、分析、猜想，特別是兩條線段的不等關(guān)系，常常把兩條線段放到一個三角形中.

　　解：∠AOB=2∠COD， AB<2CD，理由如下：

　如圖，在⊙O上取一點C ’，使 = .∴∠COD=∠DOC’

　　　∵ =2 ，∴， = + = .

　　　∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD

　　　又∵在△CDC’中，CD+DC’> CC’，∴CC’<2CD，即AB<2CD.

　　說明：此題進一步理解定理及其推論的應(yīng)用條件，在“相等”問題中的不等量.由 =2 可得∠AOB=2∠COD是正確的，但由 =2 得出AB=2CD，是錯誤的，培養(yǎng)學生在學習中的遷移能力.

　　例2、如圖，已知：AB是⊙O直徑，M、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，求證： = .

　　分析：要證弧相等，可以證弧對應(yīng)的弦相等，弧對應(yīng)的圓心角相等.

　　證法一：連結(jié)AC、OC、OD、BD，

　　　∵M、N分別是AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，

　　　∴AC= OC、OD=BD

　　　又∵OC=OD，∴AC= BD，∴ = .

　　證法二：連結(jié)OC、OD，

　　　∵M、N分別是AO、BO的中點，∴OM=AO，ON= BO，

　　　∵OA=OB，∴OM=ON，

　　　∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD，

　　　∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COA=∠DOB，∴ = .

　　證法三、如圖，分別延長CM、DN交⊙O于E、F，

　　　∵M、N分別是AO、BO的中點，∴OM= AO，ON= BO，

　　　∵OA=OB，∴OM=ON，

　　　又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴CE=DF，∴ =

　　　∵ = ， = ，∴ = .

　　說明：此題是利用本節(jié)定理及推論應(yīng)用的優(yōu)秀題目，題目不難，但方法靈活，培養(yǎng)學生靈活解決問題的能力和基本的輔助線的作法.

　　例3、如圖，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求 和 的度數(shù).

　　分析：連結(jié)OC，通過求圓心角的度數(shù)求解.

　　解：連結(jié)OC，

　　　在Rt△AOB中，∠A=35°

　　　∴∠B=55°，又∵OC=OB，

　　　∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴ 的度數(shù)為70°，

　　　∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，

　　　∴ 的度數(shù)為20°.

　　說明：此題是基本題目，目的是鞏固基礎(chǔ)知識.

　　例4  如圖，C是⊙O直徑AB上一點，過C點作弦DE，使CD＝CO，若 的度數(shù)為40°，求 的度數(shù)．

　　分折： 要求 的度數(shù)，可求它所對的圓心角∠BOE的度數(shù)，如圖作輔助線，通過等量轉(zhuǎn)換得出結(jié)果．

　　解： 連OE、OD并延長DO交⊙O于F．

　　　∵ 的度數(shù)為40°，∴∠AOD=40°．

　　　∵CD＝CO，  ∴∠ODE＝∠AOD＝40°．

　　　∵OD＝OE，  ∴∠E＝ ∠ODE＝40°．

　　　∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD＝40°，

　　　則∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴ 的度數(shù)為120°．

　　說明：此題充分體現(xiàn)了圓中的等量轉(zhuǎn)換以及圓中角度的靈活變換．