K形圖在河南中考壓軸題中的運(yùn)用
原創(chuàng) 2017-12-29 陳鐵成
一、K形圖的由來
（1）K形圖之全等
如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°.直線DE經(jīng)過點(diǎn)A，分別過點(diǎn)B，C作BD⊥DE于點(diǎn)D，CE⊥DE于點(diǎn)E.
求證：△ABD≌△CAE.
簡析：利用同角的余角相等可證，∠BAD=∠ACE，利用AAS可證兩三角形全等.進(jìn)而得到AD=CE，BD=AE.
（2）K形圖之相似
如圖，點(diǎn)A是直線DE上一點(diǎn)，∠BAC=90°，分別過點(diǎn)B，C作BD⊥DE于點(diǎn)D，CE⊥DE于點(diǎn)E.
求證：△ABD∽△CAE
簡析：利用同角的余角相等，可得∠BAD=∠ACE，再根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似可證△ABD∽△CAE.進(jìn)而得到AD:CE=BD:AE=AB:AC.
二、K形圖的應(yīng)用
K形圖在幾何題中運(yùn)用廣泛，在解決與直角三角形相關(guān)的問題時(shí)經(jīng)常會(huì)見到K形圖的身影。特別是在求點(diǎn)的坐標(biāo)的相關(guān)題目中往往起到撥云見日的作用，給人以豁然開朗之感.
例1、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,3），點(diǎn)B（1,1）.將點(diǎn)A繞點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo).
分析：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的定義，要求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可經(jīng)過該點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，但本題中若經(jīng)過點(diǎn)C向兩坐標(biāo)軸作垂線，無法將題中已知條件很好的銜接起來.
解：如圖，過點(diǎn)B作X軸的平行線，再分別經(jīng)過點(diǎn)A，C作該平行線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D，E.所以點(diǎn)D（-2,1）.AD=yA-yD=3-1=2，BD=xB-xD=3.
易證△ADB≌△BCE，則BE=AD=2，CE=BD=3.所以，E（3,1），C（3,4）.
反思：1、這種構(gòu)造方法引起結(jié)構(gòu)看起來像一個(gè)字母K，所以有老師將其命名為K形圖。名稱只是外表，掌握其實(shí)質(zhì)才是根本。
2、在直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)常利用K形圖將題中已知聯(lián)系起來.其實(shí)K形圖在這里起到了斜轉(zhuǎn)直的作用，有老師戲稱之為“改斜歸正”，形象至極.
3、在直角坐標(biāo)系中，平行于X軸的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等.同時(shí)如果兩點(diǎn)所連線段平行于x軸，那么這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，且這兩點(diǎn)間的距離等于右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo).同樣的，如果兩點(diǎn)所連線段平行于y軸，那么這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，且這兩點(diǎn)間的距離等于上面點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下面點(diǎn)的縱坐標(biāo).
例2、如圖，點(diǎn)A（1,1），點(diǎn)B（2,3），∠BAC=90°，且tan∠ABC=3,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
解：如圖過點(diǎn)A作x軸的平行線，分別過點(diǎn)B，C作該平行線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，D.則點(diǎn)E（2,1）.所以AE=1,BE=2.
易證△ACD∽△BAE.所以AD:BE=CD:AE=AC:BA=3.求得，AD=3BE=6,CD=3AE=3.所以D（-5,1），C（-5,4）.
三、河南中考壓軸題中的K形圖.
解：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求得，y=-1/4x^2-3/4x+5/2.
（2）設(shè)直線y=3/4x-3/2和y軸交于點(diǎn)M.則M（0,3/2），又點(diǎn)A（2,0）
所以O(shè)A=2，OM=3/2.利用勾股定理可得AM=5/2.所以O(shè)M:OA:AM=3：4：5.
易證△AOM∽△PED.所以DE:PE:PD=3：4：5.
設(shè)點(diǎn)P（x，-1/4x^2-3/4x+5/2），則點(diǎn)D（x，3/4x-3/2）.
PD=yP-yD=(-1/4x^2-3/4x+5/2)-(3/4x-3/2)
=-1/4x^2-3/2x+4
所以l=12/5PD=12/5（-1/4x^2-3/2x+4）
=-3/5x^2-18/5x+48/5=-3/5（x+3）^2+15
即當(dāng)x=-3時(shí)，周長l有最大值，最大值為15.
（3）
反思：對于本題的第三問我們還可以提出這樣的問題：點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得tan∠PCD=1/3.若存在，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（結(jié)合前面解題過程，請大家自行完成）
前面以河南省2011年和2013年的壓軸題為例，初步接觸了K形圖的應(yīng)用。下面將繼續(xù)探索K形圖在河南中考壓軸題中的作用，同時(shí)結(jié)合倍半角公式，看看2014和2016年的河南省中考壓軸題還有哪些解法。
四、倍半角
五、K形圖及倍半角公式的運(yùn)用
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