素?cái)?shù)的特別之處遠(yuǎn)不僅是只能被自己和1整除的數(shù)字，它們是數(shù)學(xué)里神秘的謎團(tuán)，是自歐幾里得證明它們沒有終點(diǎn)以來(lái)就一直讓數(shù)學(xué)家渴望解開的秘密。

“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”（GIMPS）是一個(gè)正在進(jìn)行的項(xiàng)目，其目的在于發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的特別罕見的素?cái)?shù)。最近，我們找到了迄今為止已知的最大素?cái)?shù)，共23,249,425位，這是個(gè)非常大的數(shù)字，輕輕松松就能填滿9000多頁(yè)紙。相比之下，在整個(gè)可觀測(cè)宇宙中，原子數(shù)的總和估計(jì)不超過100位數(shù)字。

或許你會(huì)問，如果一個(gè)數(shù)字超過了2300多萬(wàn)位，那它還具有被知道的意義嗎？難道最重要的數(shù)字不是可以用來(lái)量化我們世界的那些嗎？事實(shí)并非如此。我們需要了解不同數(shù)字的屬性，以便讓我們不僅能夠繼續(xù)發(fā)展我們賴以生存的技術(shù)，同時(shí)還能確保它的安全。

素?cái)?shù)在計(jì)算方面最常見的應(yīng)用之一就是RSA加密系統(tǒng)。 1978年，Ron Rivest，Adi Shamir和Leonard Adleman將一些簡(jiǎn)單的數(shù)字相關(guān)的已知事實(shí)結(jié)合在一起，創(chuàng)建了RSA加密演算法。他們開發(fā)的系統(tǒng)確保了在線信息的安全傳輸，如信用卡號(hào)碼。

該算法所需的第一個(gè)重要成分就是兩個(gè)大的素?cái)?shù)。數(shù)字越大，加密越安全。計(jì)數(shù)數(shù)字1、2、3、4等自然數(shù)在這里顯然也非常有用。但素?cái)?shù)是所有自然數(shù)的基礎(chǔ)，所以更為重要。

以數(shù)字70為例，首先它是2和35的乘積；接著，35是5和7的乘積。所以70是三個(gè)較小的數(shù)字：2、5和7的乘積。這就是70可分解的所有數(shù)字，因?yàn)檫@些數(shù)字都無(wú)法再被進(jìn)一步細(xì)分。也就是說我們找到了構(gòu)成70的初始部分，得到了它的素因子分解。

將兩個(gè)數(shù)字相乘，即使數(shù)字非常大、過程很單調(diào)乏味，卻也可算是一個(gè)簡(jiǎn)單的任務(wù)。但尋找素因子卻是非常困難的，這也正是RSA系統(tǒng)所利用的。

假設(shè)小紅和小明要通過互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行秘密的通信，那么他們需要一個(gè)加密系統(tǒng)。如果他們先親自見上一面，就可以事先設(shè)計(jì)一種只有他們知道的加密和解密方法，但是他們的首次接觸就是通過在線網(wǎng)絡(luò)，那么他們首先需要公開交流的就是加密系統(tǒng)本身——這是一件冒險(xiǎn)的事。

但是，如果小紅選擇兩個(gè)大的素?cái)?shù)，計(jì)算出這兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積，再公開的交換這個(gè)乘積的信息，那么要找出她原來(lái)選擇的兩個(gè)素?cái)?shù)是一件非常艱巨的任務(wù)，因?yàn)橹挥兴肋@兩個(gè)素?cái)?shù)。

所以小紅可以把她的乘積傳達(dá)給小明，并對(duì)素因數(shù)保密。小明用這個(gè)乘積來(lái)加密他要發(fā)送給小紅的信息，解密這一信息必須用到只有小紅才知道的素因數(shù)。所以如果有第三個(gè)人小亮在竊聽，他無(wú)法破譯小明的消息，除非他知道了小紅最先設(shè)置的素因素，而這些素因數(shù)是從來(lái)沒有進(jìn)行過傳播的。如果小亮還不死心，試圖將乘積分解成兩個(gè)原始素?cái)?shù)，那么即使用的是最快的超級(jí)計(jì)算機(jī)，也不可能在太陽(yáng)爆炸之前完成這一任務(wù)的算法。

其他密碼系統(tǒng)也在廣泛的使用大的素?cái)?shù)。計(jì)算機(jī)的運(yùn)行速度越快，能夠破解的數(shù)字就越大。對(duì)于現(xiàn)代應(yīng)用來(lái)說，測(cè)量上百位數(shù)的素?cái)?shù)已足以完成。當(dāng)然這些數(shù)字與最近發(fā)現(xiàn)的超級(jí)巨大的素?cái)?shù)相比，就太微不足道了。然而，最新找到的素?cái)?shù)是如此之大，以至于目前在計(jì)算速度方面沒有任何可想象的先進(jìn)技術(shù)需要用它來(lái)作為安全加密。甚至是量子計(jì)算機(jī)所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，可能都用不上這樣的龐然大數(shù)來(lái)確保安全。

然而，剛發(fā)現(xiàn)的梅森素?cái)?shù)既非是為了擁有更安全的密碼系統(tǒng)，也非為了改進(jìn)計(jì)算機(jī)。而是數(shù)學(xué)家們內(nèi)心對(duì)揭開“素?cái)?shù)”所蘊(yùn)含的神秘的渴望，不斷的激發(fā)著對(duì)素?cái)?shù)的探求。這是一個(gè)以數(shù)1，2，3……開始，將我們推向研究前沿的原始動(dòng)力。

著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（Godfrey Harold Hardy）曾說過：“總體而言，純數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值是高于應(yīng)用數(shù)學(xué)的?！?dāng)?shù)學(xué)技術(shù)’是這其中最為頂級(jí)的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)的技術(shù)主要通過純數(shù)學(xué)孕育而生?！?那些龐大的素?cái)?shù)最終是否有什么應(yīng)用價(jià)值，至少對(duì)哈代來(lái)說似乎是一個(gè)無(wú)關(guān)緊要的問題。對(duì)這些數(shù)字的探索的目的在于——它不斷地滿足著人類對(duì)智慧的渴望，這種渴望從歐幾里得證明素?cái)?shù)無(wú)窮便已開始，至今仍在延續(xù)。

文：Ittay Weiss

譯：佐佑

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