歐拉公式指的是近代數(shù)學(xué)的偉大先驅(qū)之一萊昂哈德·歐拉（1707-1783）所發(fā)明的一系列公式。這些公式分布在數(shù)學(xué)這顆大樹的眾多分支領(lǐng)域中，比如復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式、初等數(shù)論中的歐拉函數(shù)公式、拓?fù)鋵W(xué)中的歐拉多面體公式、分式公式等等。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，最先接觸到的歐拉公式就是著名的歐拉多面體公式：

V-E+F=2。

下面簡(jiǎn)單介紹下這個(gè)公式的發(fā)現(xiàn)過程。

早在1639年，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家笛卡爾（解析幾何學(xué)的創(chuàng)始人）就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：不管由多邊形圍成的凸多面體的外形如何變化，其頂點(diǎn)數(shù)（V），棱數(shù)（E）和面數(shù)（F）都滿足一個(gè)簡(jiǎn)單的公式——V-E+F=2。但在當(dāng)時(shí)這個(gè)規(guī)律并未廣泛流傳。

過了一百多年后，歐拉在1750年又重新獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，于是這個(gè)廣為流傳的公式被命名為歐拉多面體公式。

歐拉的思路大致是這樣的：任意三角形的內(nèi)角和一定是180°，用弧度表示就是π，這個(gè)角度是和三角形的形狀和大小無關(guān)的。進(jìn)而就能發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和為（n-2）π，這說明凸多邊形的內(nèi)角和是由邊數(shù)的多少?zèng)Q定的，也和形狀、大小等因素?zé)o關(guān)。把這個(gè)理論推廣到空間中若干個(gè)多邊形圍成的凸多面體，又有怎樣的性質(zhì)呢？

歐拉首先選擇了幾個(gè)形狀簡(jiǎn)單的多面體進(jìn)行推理，并將觀察所得進(jìn)行了歸納總結(jié)，他發(fā)現(xiàn)這些多面體的面角和是由多面體的頂點(diǎn)數(shù)決定的。歐拉又把這個(gè)猜想進(jìn)一步推廣，就得到了V-E+F=2的最終結(jié)論。

事實(shí)上，歐拉多面體公式的證明方法有很多種，比如數(shù)學(xué)歸納法，球面幾何法等。

歐拉是一位不折不扣的數(shù)學(xué)天才。但是他的非凡成就也和他對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛有關(guān)。在歐拉人生的最后7年，他雙目完全失明，但是仍然留下了大量數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。這或許更能說明，為什么數(shù)學(xué)史上能留下那么多經(jīng)典的歐拉公式吧。