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首先，大家一起來(lái)試想一個(gè)場(chǎng)景：每個(gè)人手里都拿著一個(gè)蘋(píng)果，假如我們?cè)谶@個(gè)蘋(píng)果表面圍繞一個(gè)可以伸縮的橡皮帶，要求既不扯斷它，也不能讓它離開(kāi)蘋(píng)果的表面，最終我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)橡皮帶可以慢慢移動(dòng)收縮成一個(gè)點(diǎn)。

你能想象到這個(gè)場(chǎng)景嗎？

如果大家覺(jué)得很難理解，非常抽象的話，我們?cè)贀Q一個(gè)場(chǎng)景試試。

把我們居住的房間想象成一個(gè)球形體，一個(gè)球形的房間。同時(shí)，要求這個(gè)球形房子沒(méi)有窗戶(hù)、沒(méi)有門(mén)，有足夠的多空氣供大家呼吸?，F(xiàn)在每個(gè)人手里都拿著一個(gè)氣球，來(lái)到這個(gè)球形的房間里，我們把這個(gè)氣球吹大（假設(shè)氣球非常結(jié)實(shí)，氣球的“皮”是無(wú)限薄，且不能被吹破）。

假如我們一直吹這個(gè)氣球，吹到最后會(huì)怎么樣呢？一位法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊猜想，氣球吹到最后，一定是氣球表面和整個(gè)球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒(méi)有縫隙。

這樣理解起來(lái)是不是相對(duì)容易很多？

換句話說(shuō)，我們把一個(gè)等同球形房間大小的氣球，可以慢慢收縮成一個(gè)“點(diǎn)”，這就是數(shù)學(xué)史上非常著名的龐加萊猜想。

了解什么是龐加萊猜想，我們先簡(jiǎn)單了解一下什么是拓?fù)鋵W(xué)。

拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質(zhì)的學(xué)科。

拓?fù)鋵W(xué)只考慮物體間的位置關(guān)系，而不考慮它們的形狀和大小。

在拓?fù)鋵W(xué)里，最重要的拓?fù)湫再|(zhì)包括連通性與緊致性。

因此，無(wú)論是圍繞蘋(píng)果表面橡皮帶，還是可以“填充”整個(gè)球形房間的氣球，在這個(gè)伸縮過(guò)程中，保證了連通性與緊致性。

居于這些假設(shè)，在1904年，法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊提出了一個(gè)看似簡(jiǎn)單的拓?fù)鋵W(xué)猜想：在一個(gè)三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的圓球。

在1905年，龐加萊發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤，從而修改為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面?！?/span>

任何一個(gè)單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個(gè)三維的球面。

更直觀地講：

一個(gè)閉的三維流形就是一個(gè)有邊界的三維空間；

單連通就是這個(gè)空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點(diǎn)，或者說(shuō)在一個(gè)封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點(diǎn)，這個(gè)空間就一定是一個(gè)三維圓球 。

后來(lái)，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱(chēng)為“高維龐加萊猜想”。

龐加萊

誰(shuí)是龐加萊？

龐加萊全名是亨利·龐加萊（1854年~1912年），他是一名法國(guó)數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。

龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理、多復(fù)變函數(shù)論、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。

龐加萊在數(shù)學(xué)方面的杰出成就對(duì)20世紀(jì)和當(dāng)今數(shù)學(xué)的發(fā)展具有極其深遠(yuǎn)的影響，他在天體力學(xué)方面的研究被譽(yù)為是牛頓之后的一座里程碑，他因?yàn)閷?duì)電子理論的研究被公認(rèn)為相對(duì)論的理論先驅(qū)。

因此，龐加萊被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家。

跟哥德巴赫猜想一樣，龐加萊猜想的出現(xiàn)也讓無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家陷入瘋狂，為了能證明這個(gè)猜想，很多數(shù)學(xué)家絞盡腦汁，傾其一生，前后長(zhǎng)達(dá)一個(gè)多世紀(jì)才完成此猜想的證明，更是讓三位數(shù)學(xué)家陸續(xù)獲得了菲爾茨獎(jiǎng)。

其實(shí)，龐加萊本人提出這個(gè)猜想之后，一度認(rèn)為自己能夠證明它，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次努力，發(fā)現(xiàn)有生之年無(wú)法證明這個(gè)猜想。之后，一些數(shù)學(xué)家，特別是拓?fù)鋵W(xué)家們開(kāi)始了證明這個(gè)猜想的征途。

龐加萊

在龐加萊猜想提出到19世紀(jì)60年代之間，很多數(shù)學(xué)家進(jìn)行大量的證明工作，雖取得一些成就（如發(fā)展出低維拓?fù)鋵W(xué)這門(mén)學(xué)科），但離完全證明猜想還很遙遠(yuǎn)，這也讓龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一。

美國(guó)數(shù)學(xué)家斯梅爾在60年代初想到了一個(gè)“舍近求遠(yuǎn)”辦法：如果三維的龐加萊猜想難以解決，那就先證明高維的加萊猜想。

在1961年的夏天，在基輔的非線性振動(dòng)會(huì)議上，斯梅爾公布了自己對(duì)龐加萊猜想的五維空間以及五維以上的證明，一下子就引起數(shù)學(xué)界的轟動(dòng)。

因此，斯梅爾獲得1966年菲爾茨獎(jiǎng)。

在1983年，美國(guó)數(shù)學(xué)家福里德曼又將證明向前推動(dòng)了一步，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎(jiǎng)。

雖然數(shù)學(xué)家都證明高維的龐加萊猜想，但總是無(wú)法踏入三維的龐加萊猜想。

如數(shù)學(xué)家瑟斯頓應(yīng)用其他的工具，引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對(duì)三維流形進(jìn)行切割，并因此獲得了1983年的菲爾茨獎(jiǎng)。

菲爾茨獎(jiǎng)

至此，雖然還沒(méi)有證明三維的龐加萊猜想，但人們已經(jīng)看到了希望。為了鼓勵(lì)數(shù)學(xué)界能更快證明這一猜想，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所在2000年5月24日，把龐加萊猜想列為七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)難題”之一，只要能解答成功，就能拿走百萬(wàn)美元大獎(jiǎng)。

俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在前人的基礎(chǔ)之上，花費(fèi)8年的時(shí)間去研究和證明三維的龐加萊猜想。在2002年11月和2003年7月之間，佩雷爾曼將3份關(guān)鍵論文的手稿粘貼到一個(gè)專(zhuān)門(mén)刊登數(shù)學(xué)和物理預(yù)印本論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家，聲稱(chēng)自己證明了龐加萊猜想。

2006年，數(shù)學(xué)界最終確認(rèn)佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

雖然佩雷爾曼證明龐加萊猜想，但他一生淡泊名利，拒絕很多獎(jiǎng)項(xiàng)，如直接菲爾茨獎(jiǎng)。因此，從某種角度來(lái)說(shuō)，龐加萊猜想讓四名數(shù)學(xué)家獲得了有“數(shù)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)”之稱(chēng)的菲爾茨獎(jiǎng)。

佩雷爾曼

從龐加萊提出猜想，到佩雷爾曼完成證明，前后經(jīng)歷長(zhǎng)達(dá)一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間，中間有許多數(shù)學(xué)家為了能證明這個(gè)定理，耗盡一生的精力。

有人會(huì)問(wèn)，花那么多時(shí)間和精力去證明一個(gè)猜想有什么意義呢？數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)字看起來(lái)或許沒(méi)有什么意義，但它是推動(dòng)人類(lèi)發(fā)展的工具，更是靈魂。人類(lèi)在這個(gè)證明過(guò)程中，不要說(shuō)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的意義，更是讓人類(lèi)的思維方式、思維的廣度和深度、邏輯能力、哲學(xué)等等，都得到前所未有的發(fā)展。

同時(shí)這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)的公式或定理不是靠猜測(cè)，需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明推理過(guò)程，這也讓數(shù)學(xué)成為一個(gè)解決本學(xué)科或其他學(xué)科問(wèn)題的重要工具。

就像龐加萊猜想作為拓?fù)鋵W(xué)中一個(gè)具有基本意義的命題，將有助于人類(lèi)更好地研究三維空間，加深人們對(duì)流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，更好的去探索未知世界。