兩個(gè)(來自正交規(guī)范向量空間)向量 a = [a₁, a₂, … , a_n] 和 b = [b₁, b₂, … , b_n] 的點(diǎn)積定義為:

這里的 Σ 指示總和符號(hào)。

例如，兩個(gè)三維向量 [1, 3, ?5] 和 [4, ?2, ?1] 的點(diǎn)積是

使用矩陣乘法并把(縱列)向量當(dāng)作 n×1 矩陣，點(diǎn)積還可以寫為:

這里的 a^T 指示矩陣 a 的轉(zhuǎn)置。

使用上面的例子，這將結(jié)果一個(gè) 1×3 矩陣(就是行向量)乘以 3×1 向量(通過矩陣乘法的優(yōu)勢得到 1×1 矩陣也就是標(biāo)量):

兩個(gè)向量 a 和 b 的叉積寫作 a × b （有時(shí)也被寫成 a ∧ b，避免和字母 x 混淆）。叉積可以被定義為：

在這里 θ 表示 a 和 b 之間的角度（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于這兩個(gè)矢量所定義的平面上。而 n 是一個(gè)與 a 和 b 均垂直的單位矢量。

這個(gè)定義有一個(gè)問題，就是同時(shí)有兩個(gè)單位向量都垂直于 a 和 b：若 n 滿足垂直的條件，那么 -n 也滿足。

“正確”的向量由向量空間的方向確定，即按照給定直角坐標(biāo)系 (i, j, k) 的左右手定則。若 (i, j, k) 滿足右手定則，則 (a, b, a × b) 也滿足右手定則；或者兩者同時(shí)滿足左手定則。

一個(gè)簡單的確定滿足“右手定則”的結(jié)果向量的方向的方法是這樣的：若坐標(biāo)系是滿足右手定則的，當(dāng)右手的四指從a以不超過180度的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)向b時(shí)，豎起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉積由坐標(biāo)系確定，所以其結(jié)果被稱為偽向量。

給定直角坐標(biāo)系的單位向量 i，j，k 滿足下列等式：

i × j = k           j × k = i           k × i = j

通過這些規(guī)則，兩個(gè)向量的叉積的坐標(biāo)可以方便地計(jì)算出來，不需要考慮任何角度：設(shè)

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

則

a × b = [a₂b₃ ? a₃b₂, a₃b₁ ? a₁b₃, a₁b₂ ? a₂b₁]

上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式：

叉積也可以用四元數(shù)來表示。注意到上述 i，j，k 之間的叉積滿足四元數(shù)的乘法。一般而言，若將向量 [a₁, a₂, a₃] 表示成四元數(shù) a₁i + a₂j + a₃k，兩個(gè)向量的叉積可以這樣計(jì)算：計(jì)算兩個(gè)四元數(shù)的乘積得到一個(gè)四元數(shù)，并將這個(gè)四元數(shù)的實(shí)部去掉，即為結(jié)果。更多關(guān)于四元數(shù)乘法，向量運(yùn)算及其幾何意義請(qǐng)參見四元數(shù)與空間旋轉(zhuǎn)。

拉格朗日公式

• 這是一個(gè)著名的公式，而且非常有用：

a × (b × c) = b(a · c) ? c(a · b),

可以簡單地記成“BAC - CAB”。這個(gè)公式在物理上簡化向量運(yùn)算非常有效。需要注意的是，這個(gè)公式對(duì)微分算子不成立。

這里給出一個(gè)和梯度相關(guān)的一個(gè)情形：

這是一個(gè)霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解 的特殊情形。

• 另一個(gè)有用的拉格朗日恒等式是：

這是一個(gè)在四元數(shù)代數(shù)中范數(shù)乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。

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幾何意義：

點(diǎn)積：

在歐幾里得空間中，點(diǎn)積可以直觀地定義為

,

這里 |x| 表示 x 的范數(shù)（長度），θ 表示兩個(gè)向量之間的角度。

注意：點(diǎn)積的形式定義和這個(gè)定義不同；在形式定義中，a 和 b 的夾角是通過上述等式定義的。

這樣，兩個(gè)互相垂直的向量的點(diǎn)積總是零。若 a 和 b 都是單位向量（長度為 1 ），它們的點(diǎn)積就是它們的夾角的余弦。那么，給定兩個(gè)向量，它們之間的夾角可以通過下列公式得到：

這個(gè)運(yùn)算可以簡單地理解為：在點(diǎn)積運(yùn)算中，第一個(gè)向量投影到第二個(gè)向量上（這里，向量的順序是不重要的，點(diǎn)積運(yùn)算是可交換的），然后通過除以它們的標(biāo)量長度來“標(biāo)準(zhǔn)化”。這樣，這個(gè)分?jǐn)?shù)一定是小于等于 1 的，可以簡單地轉(zhuǎn)化成一個(gè)角度值。

需要注意的是，點(diǎn)積的幾何解釋通常只適用于 ()。在高維空間，其他的域或模中，點(diǎn)積只有一個(gè)定義，那就是

點(diǎn)積可以用來計(jì)算合力和功。若 b 為單位向量，則點(diǎn)積即為 a 在方向 b 的投影，即給出了力在這個(gè)方向上的分解。功即是力和位移的點(diǎn)積。

叉積：