單球面折射的齊明點(diǎn)

imelee 2018-04-10

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最近在看鐘錫華先生編著的《現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)》，第一章介紹齊明點(diǎn)時(shí)給出了一個(gè)例子，就是今天要討論的單球面折射時(shí)的齊明點(diǎn)。書中給出了齊明點(diǎn)的位置，但是沒有給推導(dǎo)過程。我就試著推導(dǎo)了一下，放在這里做個(gè)筆記。
齊明點(diǎn)(aplanatic points)又稱為等光程點(diǎn)或不暈點(diǎn)。簡單的說就是在此處發(fā)出的光線經(jīng)過折射后可以精確匯聚于一點(diǎn)，沒有球差、彗差和像散。
如下圖：
這里寫圖片描述
$Q_{0}$ 點(diǎn)是物點(diǎn)， $Q_{0}^{'}$ 點(diǎn)是像點(diǎn)。物點(diǎn)向右方射出的光線要求都能匯聚到像點(diǎn)上。其中圓球內(nèi)的折射率為 $n$ ,外部為 $n^{'}$ ，并且 $n > n^{'}$ 。根據(jù)三角形正弦定理，可知如下兩組關(guān)系：

\frac{s i n (u)}{r} = \frac{s i n (i)}{s} \frac{s i n (u^{'})}{r} = \frac{s i n (i^{'})}{s^{'}}

由折射定律我們還知道：

n s i n (i) = n^{'} s i n (i^{'})

前兩個(gè)式子可以變個(gè)形，同時(shí)利用折射定律：

s = \frac{s i n (i)}{s i n (u)} r = \frac{n^{'}}{n} \frac{s i n (i^{'})}{s i n (u)} r s^{'} = \frac{s i n (i^{'})}{s i n (u^{'})} r = \frac{n}{n^{'}} \frac{s i n (i)}{s i n (u^{'})} r

根據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系，我們還有：

u + i = u^{'} + i^{'}

觀察上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)如果讓：

s = \frac{n^{'}}{n} r

那么

i^{'} = u

i = u^{'}

。這時(shí)：

s^{'} = \frac{n}{n^{'}} r

是個(gè)定值。也就是說無論入射角 $u$ 是多少，都會匯聚到同樣一個(gè)點(diǎn)。這一對點(diǎn)就稱為齊明點(diǎn)。

第一個(gè)發(fā)現(xiàn)齊明點(diǎn)的人很了不起，我知道結(jié)論了都推導(dǎo)了小半天。。。

齊明點(diǎn)對顯微鏡鏡頭設(shè)計(jì)很有用，物鏡為了收集物體發(fā)出的更多的光，無法滿足傍軸條件。利用齊明點(diǎn)的特性，只要將物體放置在物鏡最前面鏡片的齊明點(diǎn)上，就能消除像差。當(dāng)然具體實(shí)現(xiàn)起來還有各種技巧，這里就不多說了。下一篇博客講講阿貝正弦定理。

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