所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過(guò)程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。

下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見(jiàn)題型。

一、“添舍”放縮

通過(guò)對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。

例1、設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a³－b³＝a²－b²，求證。

證明：由題設(shè)得a²＋ab＋b²＝a＋b，于是（a＋b）²＞a²＋ab＋b²＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b）²，而（a＋b）²＝a＋b＋ab＜a＋b＋（a＋b）²，即（a＋b）²＜a＋b，所以a＋b＜，故有1＜a＋b＜。

例2、已知a、b、c不全為零，求證：

證明：因?yàn)?/span>，同理，。

所以

二、分式放縮

一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。

例3、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。

證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，，，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+c＞a，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，，

故.

綜合得。

三、裂項(xiàng)放縮

若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。

例4、已知n∈N*，求。

證明：因?yàn)?/span>，則

，證畢。

例5、已知且，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。

證明：因?yàn)?/span>，所以，

又，

所以，綜合知結(jié)論成立。

四、公式放縮

利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。

例6、已知函數(shù)，證明：對(duì)于且都有。

證明：由題意知

_，又因?yàn)?/span>且，所以只須證，又因?yàn)?/span>

所以。

例7、已知，求證：當(dāng)時(shí)。

證明：

證畢。

五、換元放縮

對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問(wèn)題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。

例8、已知，求證。

證明：因?yàn)?/span>，所以可設(shè)，，所以則，即。

例9、已知a，b，c為△ABC的三條邊，且有，當(dāng)且時(shí)，求證：。

證明：由于，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)?/span>，，則當(dāng)時(shí)，，，

所以。

六、單調(diào)函數(shù)放縮

根據(jù)題目特征，通過(guò)構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。

例10、已知a，b∈R，求證。

證明：構(gòu)造函數(shù)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，所以在上是增函數(shù)，取，，顯然滿足，

所以，

即。證畢。