1770年歐拉曾經(jīng)在《代數(shù)的要素》中證明過10＝9.9999??，后來也有巴圖和謝波特在《實分析引論中》用閉區(qū)間套進(jìn)行過證明，也有人用戴維金分割證明過1與0.99999??分割一樣，但是如何看待這些證明，與其大小的爭論？

無限循環(huán)小學(xué)0.99999．．．．與1嚴(yán)格相等

這個問題并不能用初等數(shù)學(xué)的方法來理解，我下面舉幾個常見的初等方法

無懈可擊，對不對？但是我要說的是這三種方法只能幫助你直觀理解，但并不能把它們當(dāng)成１＝0.999.....的嚴(yán)格證明．為什么呢？因為0.99999....是無限循環(huán)小數(shù)，這的表示已經(jīng)超出了我們認(rèn)知的初等數(shù)學(xué)的范疇了；若類似的用以上這些方法，還可以簡單的證明出0.959....=0.96，這樣就陷入尷尬了，全部不成立了，整個數(shù)學(xué)都要崩塌了．怎么辦？

我們并不能用初等數(shù)學(xué)的方法合理解釋它，首先要理解從有理數(shù)構(gòu)造實數(shù)的方法出發(fā)，這時我們更加深刻的認(rèn)識無理數(shù)，而不僅僅停留在我們的認(rèn)知表面：

引入：設(shè)兩個非空有理數(shù)集合A和B，A并Ｂ為全體有理數(shù)，對任意的Ａ中的數(shù)a,和Ｂ中的數(shù)b,滿足a<b,mj A和B構(gòu)成有理數(shù)集的一個分割Ａ／Ｂ．

Ａ和Ｂ可能的情況中有一種：Ａ中沒有最大數(shù)，Ｂ中沒有最小數(shù)，此時Ａ／Ｂ中沒有確定任何有理數(shù)，即Ａ和Ｂ中存在一個＂空隙＂，這些空隙就表示無理數(shù)，于是我們重新對無理數(shù)下一個嚴(yán)格的定義：Ａ／Ｂ是有理數(shù)的一個分割，若Ａ中沒有最大數(shù)，Ｂ中沒有最小數(shù)，則稱分割Ａ／Ｂ確定了一個無理數(shù)c,c大于Ａ中任何有理數(shù)，小于Ｂ中任何有理數(shù)；

于是我們根據(jù)上面得到實數(shù)的嚴(yán)格定義：由全體有理數(shù)，以及有理數(shù)的分割所確定的全體無理數(shù)，構(gòu)成的集合構(gòu)成實數(shù)集．

通過對以上的有理數(shù)無理數(shù)實數(shù)的定義之后，我們就可以對0.999....=1進(jìn)行嚴(yán)格證明了

設(shè)x=0.9999...,作兩個有理數(shù)集的分割

根據(jù)前面的定義可以知道，Ａ／Ｂ確定了實數(shù)t=0.999....，分割Ｃ／Ｄ確定了實數(shù)1

為證明t=1,我們只需要證明這兩個分割是相同的，即證明Ａ＝Ｃ就可以了．

綜上所述，我們證明到Ａ／Ｂ和Ｃ／Ｄ是相同的分割，因此0.999．．．．＝１