利用軸對稱求最短距離問題

基本題引入:如圖（1），要在公路道a上修建一個加油站，有Ａ，Ｂ兩人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？

你可以在a上找?guī)讉€點試一試,能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

思路分析：如圖2，我們可以把公路a近似看成一條直線，問題就是要在a上找一點M，使AM與BM的和最小。設(shè)A′是A的對稱點，本問題也就是要使A′M與BM的和最小。在連接A′B的線中，線段A′B最短。因此，線段A′B與直線a的交點C的位置即為所求。

如圖3，為了證明點C的位置即為所求，我們不妨在直線a上另外任取一點N，連接AN、BN、A′N。

因為直線a是A，A′的對稱軸，點M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。

∴AM BM= A′M BM= A′B

在△A′BN中，

∵A′B＜A′N BN

∴AM BM＜AN BN

即AM BM最小。

點評：經(jīng)過復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、面露微笑，不一會不少學(xué)生就利用軸對稱知識將上一道中考題解決了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小.由題意可知，點C關(guān)于直線DE的對稱點是點A，顯然當(dāng)P、A、B三點共線時PB＋PA最小.此時DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴當(dāng)x＝時，△PBC的周長最小， y值略。