今天我們進(jìn)入高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的第二節(jié)內(nèi)容,命題及其關(guān)系,充分條件與必要條件;此節(jié)內(nèi)容不難,但容易忘記,一是忘記命題間的關(guān)系,例如否題,逆命題等,還有充分條件必要條件的判斷及證明,在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查,故對基礎(chǔ)內(nèi)容要重視,才能應(yīng)對高考數(shù)學(xué).

1．命題的概念:用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．

2．四種命題及其關(guān)系

一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用-p和-q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是

原命題：若p則q(p?q)； 逆命題：若q則p(q?p)；

否命題：若-p則-q(-p?-q)； 逆否命題：若-q則-p(-q?-p)．

學(xué)霸數(shù)學(xué)

題型1,命題的基本關(guān)系

　寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假．

(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；

(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的?。?/p>

解題導(dǎo)引　給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定．

解　(1)逆命題：若一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)是實(shí)數(shù)．真命題．

否命題：若一個數(shù)不是實(shí)數(shù)，則它的平方不是非負(fù)數(shù)．真命題．

逆否命題：若一個數(shù)的平方不是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)不是實(shí)數(shù)．真命題．

(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．真命題．

否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．真命題．

逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．假命題．

(3)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線．真命題．

否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的?。婷}．

逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線．真命題．

題型2:充要條件的判斷

給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件．

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等．

(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實(shí)根． (4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等．

解　(1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；

而(x－2)(x－3)＝0 x－2＝0. ∴p是q的充分不必要條件．

(2)∵兩個三角形相似兩個三角形全等；

但兩個三角形全等?兩個三角形相似． ∴p是q的必要不充分條件．

(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無實(shí)根；

方程x2－x－m＝0無實(shí)根m<－2. ∴p是q的充分不必要條件．

(4)∵矩形的對角線相等，∴p?q；

而對角線相等的四邊形不一定是矩形，∴q?p. ∴p是q的充分不必要條件．

題型3充要條件的證明

設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.

解題導(dǎo)引　有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”?“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”?“條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性．

證明　(1)必要性：設(shè)方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，

則x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，

兩式相減可得x0＝，將此式代入x＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°，

(2)充分性：∵∠A＝90°，

∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①

將①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，

即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 將①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.

故兩方程有公共根x＝－(a＋c)．

所以方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°.

題型4轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用

【突破思維障礙】

本題涉及到參數(shù)問題，先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復(fù)雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實(shí)根易想Δ≥0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數(shù)．

【易錯點(diǎn)剖析】

易忽略一元二次方程這個條件隱含著m≠0，不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是整數(shù)