1.3.1  柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

一．柱體、錐體、臺(tái)體的表面積

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

正方體及其展開圖(1)                      長(zhǎng)方體及其展開圖(2)

一般的，我們可以把多面體展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法求多面體的表面積。

1.圓柱：側(cè)面展開圖是矩形，長(zhǎng)是圓柱底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的高（母線）， S=2，S=2，其中為圓柱底面半徑，為母線長(zhǎng)。

2.圓錐：側(cè)面展開圖為一個(gè)扇形，半徑是圓錐的母線，弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，側(cè)面展開圖扇形中心角為，S=， S=，其

中為圓錐底面半徑，為母線長(zhǎng)。

3.圓臺(tái)：側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，側(cè)面展開圖扇環(huán)中心角為，S=，S=.

圓柱，圓錐，圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？

S_圓柱表=2πr(r+l)S_{圓臺(tái)表}=π(r₁l+r₂l+r₁²+r₂²)S_圓錐表=πr(r+l).

4.球的表面積

又∵，且

∴可得，

又∵，∴，

∴即為球的表面積公式

例1．已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等。若圓柱的底面半徑為，圓柱側(cè)面積為S，求圓錐的側(cè)面積。

例2.若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為（  ）

A．                  B．                  C．          D．

二．柱體，錐體，臺(tái)體的體積

問題1：①回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？

    ②比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：

V_柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；

V_錐體=(S為底面積，h為錐體的高)；

V_臺(tái)體=h(S′,S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).

你能從它們的體積公式出發(fā)，猜想出一般柱體的體積公式嗎？

問題2：通過多媒體展示，請(qǐng)學(xué)生猜測(cè)等底，等高的三棱柱與三棱錐的體積之間的關(guān)系

問題3：推廣到一般的棱錐和圓錐，你能猜想出錐體的體積公式嗎？

問題4：根據(jù)棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義，如何計(jì)算臺(tái)體的體積？

問題5：圓柱，圓錐，圓臺(tái)三者的體積公式之間有什么關(guān)系？

球的體積

可先求半徑為的半球的體積.為此，采用倒水做實(shí)驗(yàn)的方法，直觀得出球的體積公式. 取三個(gè)形狀不同的容器，其中一個(gè)是半球形的，一個(gè)是圓柱形的，一個(gè)是圓錐形的，它們的高和底面圓的半徑長(zhǎng)都是.先在半球和圓錐容器里灌滿水，然后倒入圓柱形容器里，我們可以發(fā)現(xiàn)，這些水恰好把圓柱形容器灌滿.這個(gè)實(shí)驗(yàn)告訴我們，半球的體積等于與它等底、等高的圓柱與圓錐的體積的差，就是：

所以，

1.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（    ）

A.1∶2∶3            B.1∶7∶19             C.3∶4∶5            D.1∶9∶27

2.三棱錐V—ABC的中截面是△A₁B₁C₁，則三棱錐V—A₁B₁C₁與三棱錐A—A₁BC的體積之比是（    ）

A.1∶2                B.1∶4                 C.1∶6                D.1∶8

3.如果球的體積是36cm³,那么它的半徑是        .3

4.若兩個(gè)球的體積之比為8：27，那么兩個(gè)球的表面積之比為（ C  ）

（A）8：27     （B）2：3       （C）4：9    （D）2：9

5.已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是___________.

6.有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為,,().用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是___________.

7.如圖7，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長(zhǎng)為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)算器）