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是什么?

斐波那契數(shù)列是指這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55…數(shù)列中的每1項(xiàng)稱為斐波那契數(shù)，從第3項(xiàng)開始，每1項(xiàng)都等于前2項(xiàng)之和。

在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以遞歸的方法定義：F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2,n∈N*).

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特別么?

斐波那契數(shù)列看似簡(jiǎn)單、平淡無(wú)奇，但它與楊輝三角、黃金分割率和黃金矩形等數(shù)學(xué)知識(shí)、植物生長(zhǎng)等自然現(xiàn)象有著非常微妙的聯(lián)系，讓人不得不驚嘆自然的神奇造化。

▲圖1：楊輝三角

▲圖2：黃金分割率

▲圖3：黃金矩形、黃金螺旋線

▲圖4：花瓣的個(gè)數(shù)、松果和向日葵的螺旋數(shù)

▲圖5：樹木分叉數(shù)

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從哪來(lái)?

音樂(lè)或詩(shī)歌與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系并非只是一種抽象的聯(lián)系。

不可思議的數(shù)學(xué)曾被印度的一些自認(rèn)為是詩(shī)人(或語(yǔ)言學(xué)家)而非數(shù)學(xué)家的古代學(xué)者所發(fā)現(xiàn)。

印度語(yǔ)言學(xué)家平噶拉(300-200B.C.)在研究詩(shī)歌韻律時(shí)就構(gòu)造出了這樣一個(gè)序列：首先寫出1和2，后1個(gè)數(shù)等于前2個(gè)數(shù)的和，即得1、2、3、5、8、13、21、34、55…

另一位印度語(yǔ)言學(xué)家羅摩古陀羅(1088-1173)首先證明了這些數(shù)的生成方法(大約1150年)，所以這些數(shù)以他的名字命名，以羅摩古陀羅數(shù)而著稱。

▲圖6：羅摩古陀羅

而在西方這些數(shù)以斐波那契數(shù)而聞名，因意大利比薩數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契而得名。

斐波那契在其著作《算經(jīng)》中提出的兔子繁殖問(wèn)題引出了這些數(shù)。

后人發(fā)現(xiàn)這些數(shù)可構(gòu)成數(shù)列：Fn=Fn-1+Fn-2，為了紀(jì)念斐波那契的貢獻(xiàn)，將該數(shù)列命名為斐波那契數(shù)列。

▲圖7：斐波那契和《算經(jīng)》中描述數(shù)列的一頁(yè)

斐波那契早年跟隨父親在北非一帶做生意(今阿爾及利亞Bejaia)有感使用阿拉伯?dāng)?shù)字比羅馬數(shù)字更有效，就前往地中海一帶向當(dāng)時(shí)著名的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家學(xué)習(xí)。

兔子繁殖問(wèn)題也許是斐波那契從阿拉伯人口中得知的，他可能不是斐波那契數(shù)的發(fā)明人，但的確是他，把這問(wèn)題推廣并普及。

斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，他在《算經(jīng)》中系統(tǒng)介紹印度記數(shù)法，最終使印度—阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)在歐洲推廣，推動(dòng)了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展。

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有用么?

在現(xiàn)代物理、計(jì)算機(jī)、金融和藝術(shù)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用。

為此，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)從1963年起出版了《斐波那契數(shù)列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。

▲圖8：利用斐波那契數(shù)列設(shè)計(jì)出的高效“太陽(yáng)能樹”

▲圖9：波浪理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：斐波那契數(shù)列

▲圖10：運(yùn)用斐波那契數(shù)列進(jìn)行創(chuàng)作的名畫、蘋果logo

參考資料:[1] 吳振奎.斐波那契數(shù)列欣賞[M].哈爾濱:工業(yè)大學(xué)出版社,2012

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