小學(xué)數(shù)學(xué)中的4條“基本”性質(zhì)

2018年8月7日星期二

擬定這樣的題目，多少有些博人眼球。4條性質(zhì)倒是有的，但“基本”不是。這4條性質(zhì)分別是：

①除法的商不變性質(zhì)：

②小數(shù)的性質(zhì)：

③分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：

④比的基本性質(zhì)：

可見(jiàn)，學(xué)習(xí)最早的是“除法的商不變性質(zhì)”，然后是“小數(shù)的性質(zhì)”，接下來(lái)是“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，最后是“比的基本性質(zhì)”。亦可見(jiàn)，冠以“基本”的有“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”和“比的基本性質(zhì)”。“除法的商不變性質(zhì)”有時(shí)也被稱為“除法的商不變規(guī)律”。

對(duì)于“性質(zhì)”與“規(guī)律”的差別，或許您和我一樣充滿好奇，但相信我，您不會(huì)對(duì)此感興趣的，它們二者的差別涉及到了哲學(xué)上的概念范疇，看了會(huì)更加糊涂，不如不看，“揣著糊涂裝明白”！比如：

“馬哲中的規(guī)律：亦稱法則。客觀事物發(fā)展過(guò)程中的本質(zhì)聯(lián)系，具有普遍性的形式。規(guī)律和本質(zhì)是同等程度的概念。客觀性規(guī)律：它是客觀的，既不能創(chuàng)造，也不能消滅；不管人們承認(rèn)不承認(rèn)，規(guī)律總是以其鐵的必然性起著作用。規(guī)律等同于真理：這個(gè)世界任何物質(zhì)都受規(guī)律約束，彼此對(duì)立又互相聯(lián)系統(tǒng)一?！?/p>

“性質(zhì)是從客觀角度認(rèn)知事物的形式，是人或事物的本質(zhì)?！?/p>

……

怎么樣？我是成功地“糊涂”了……只是約略發(fā)現(xiàn)痕跡：“規(guī)律”、“法則”、“本質(zhì)”、“真理”、“性質(zhì)”……這些詞語(yǔ)在某些情況下是同義的、通用的，所謂“同義相訓(xùn)”是也。

至于“基本”，倒是可以說(shuō)道說(shuō)道?；局富A(chǔ)的、主要的、根本的。想來(lái)除此之外，還有其他的性質(zhì)。我頗費(fèi)周章，搜到的有：

這些性質(zhì)在初中才會(huì)學(xué)習(xí)，如果注意其假設(shè)條件就會(huì)發(fā)現(xiàn)：它們的出發(fā)點(diǎn)是“分?jǐn)?shù)或比的基本性質(zhì)”。由此可見(jiàn)，所謂“基本”性質(zhì)大抵是可以推導(dǎo)得出其他性質(zhì)的，所以稱呼為“基本性質(zhì)”，是由其本源、基礎(chǔ)的地位所決定的。

今天以此為話題，除了可以幫助小朋友們串聯(lián)、鞏固已學(xué)的知識(shí)外，也是基于對(duì)這些內(nèi)容產(chǎn)生的新的思考和認(rèn)識(shí)。

（一）4條性質(zhì)在本質(zhì)上是一致地，都源于“除法的商不變性質(zhì)”。

我們經(jīng)常做這樣的類比：分子、比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，分母、比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)值、比值相當(dāng)于商。三條性質(zhì)可以統(tǒng)一為：

除法（分?jǐn)?shù)、比）的被除數(shù)（分子、前項(xiàng)）和除數(shù)（分母、后項(xiàng)）同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商（分?jǐn)?shù)的大小、比值）不變。

（重要程度★★★★）

小數(shù)的性質(zhì)似乎采用了完全不同的表述：小數(shù)的末尾添上“0”或去掉“0”，小數(shù)的大小不變。舉例就是：

0.1＝0.10＝0.100＝0.1000＝……

如此而已。

但如果依據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中給出的“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”，我們可以將其還原成分?jǐn)?shù)形式——這句話的本意是根據(jù)十分之一、百分之一、千分之一……引入小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和小數(shù)的表示形式，現(xiàn)在，我們將其反其道行之。小數(shù)的性質(zhì)展現(xiàn)的內(nèi)容變?yōu)椋?/p>

此時(shí)，您會(huì)發(fā)現(xiàn)：它的本來(lái)面目就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

（二）每條性質(zhì)的出現(xiàn)都有其特殊的地位和作用。

（1）除法的性質(zhì)出現(xiàn)于整數(shù)除法（除數(shù)是兩位數(shù)的除法）學(xué)習(xí)完成之后，目的是為即將學(xué)習(xí)的小數(shù)除法提供算理上的依據(jù)和支撐。我們都知道，要計(jì)算一道除數(shù)是小數(shù)的除法，首先要將除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，然后按照整數(shù)除法的計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)“轉(zhuǎn)化”的過(guò)程的依據(jù)就是“除法的商不變性質(zhì)”，例如：

223.72÷3.4＝（223.72×10）÷（3.4×10）＝2237.2÷34

上式中的等號(hào)不是隨手寫(xiě)上的，顯然是由“除法的商不變性質(zhì)”作保證的，使得針對(duì)小數(shù)除法算式所做的變化是有理有據(jù)的。

除了這個(gè)主要的應(yīng)用，還演生了許多“副產(chǎn)品”，往往都是為了更好地理解“除法的商不變性質(zhì)”，比如：

120÷15

＝（120×4）÷（15×4）

＝480÷60

＝8

這是一種湊巧的簡(jiǎn)便計(jì)算。再如：

0.86÷0.4＝2.1……（ ）

這道題算是夠“坑”的一道題，如果依據(jù)豎式除法進(jìn)行正向計(jì)算，多半會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果0.2，甚至是2。出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤的原因是：應(yīng)用“除法的商不變性質(zhì)”時(shí)，性質(zhì)本身并沒(méi)有明確告訴我們“余數(shù)也不變”。事實(shí)上，余數(shù)作為被除數(shù)的一部分，是隨著被除數(shù)的擴(kuò)大而擴(kuò)大，縮小而縮小的。在將0.86÷0.4轉(zhuǎn)化為8.6÷4的過(guò)程中得到的新的余數(shù)0.2，比原來(lái)的余數(shù)擴(kuò)大了10倍，所以原來(lái)的余數(shù)是0.2÷10＝0.02。這樣的題，對(duì)于深入理解“除法的商不變性質(zhì)”的應(yīng)用特點(diǎn)極為有益。出題者估計(jì)也是沖著這一點(diǎn)來(lái)的。但反過(guò)來(lái)想，小數(shù)的除法本來(lái)就是為了“消滅余數(shù)”的，在小數(shù)除法計(jì)算的過(guò)程中戛然而止，探問(wèn)余數(shù)，也真是讓人驚訝于出題者的腦洞，因?yàn)楸绢}的結(jié)果本就是有限小數(shù)，可以除盡的：

0.86÷0.4＝2.15

最好的方法莫過(guò)于用“靠譜”的方法進(jìn)行驗(yàn)算：

0.86－2.1×0.4＝0.86－0.84＝0.02

因?yàn)椋河鄶?shù)＝被除數(shù)－商×除數(shù)。此誠(chéng)所謂“你有你的張良計(jì)，我有我的過(guò)墻梯”！

（2）小數(shù)的性質(zhì)的作用顯見(jiàn)的是：化簡(jiǎn)小數(shù)、統(tǒng)一精度。比如：

105.0900＝105.09 （去0）

32.8元＝32.80元 （添0）

但更深層次的是：為小數(shù)的大小比較做鋪墊。我們?cè)谡麛?shù)的大小比較中學(xué)到了兩條比較大小的方法：

①數(shù)位數(shù)，比如：1000＞999；

②從高位到低位一位一位地往下進(jìn)行同位相比，比如：998＜999。

自然會(huì)想將其繼承、延續(xù)下來(lái)。但小數(shù)部分的數(shù)位與整數(shù)部分的數(shù)位情況有所不同：整數(shù)部分沒(méi)有最高位，有最低位（個(gè)位）；小數(shù)部分有最高位（十分位），沒(méi)有最低位。生搬硬套方法①的話就會(huì)出錯(cuò)：

0.3＜0.23

這恐怕是由于“比位數(shù)”帶來(lái)的負(fù)遷移：3＜23。

我們來(lái)看一組數(shù)字的“華麗”變化：

103＝……000000103

0.05＝0.05000000……

1.2＝……0001.2000……

這或許會(huì)刷新您對(duì)“數(shù)位”的理解，一個(gè)三位數(shù)103，也可以看成是無(wú)窮多位數(shù)，只不過(guò)百位以上的數(shù)位上的數(shù)字都是0。而一個(gè)兩位小數(shù)0.05，也可以任意地寫(xiě)成三位小數(shù)0.050，四位小數(shù)0.0500……或許，數(shù)位就是一個(gè)“不確定”的東西。在以前的教材中，曾引入過(guò)“有效數(shù)字”、“無(wú)效數(shù)字”的概念，現(xiàn)在沒(méi)有了，不過(guò)，現(xiàn)在看來(lái)，還是有點(diǎn)意義。我們不會(huì)把103寫(xiě)成000103，是為了追求簡(jiǎn)潔，也是因?yàn)楦呶惶砑拥?都是“無(wú)效數(shù)字”，去掉了也不會(huì)影響數(shù)的大小。但有時(shí)候，人們還就是需要將數(shù)字的位數(shù)統(tǒng)一，比如考號(hào)1～300，將1號(hào)強(qiáng)制寫(xiě)成001，這如同統(tǒng)一小數(shù)位數(shù)的精度一樣。需要注意的是：不要將0和無(wú)效數(shù)字劃等號(hào)，比如0.05的個(gè)位、十分位上的數(shù)字0就是有效數(shù)字，不能去掉。

當(dāng)數(shù)位不再確定、不再重要時(shí)，比較大小變化為：

1000＞0999

0.30＞0.23

即用“0”占齊無(wú)效數(shù)位，在“等位數(shù)長(zhǎng)度”的情況下，只用方法②從高位到低位一位一位地往下進(jìn)行同位相比。

或許，小數(shù)的性質(zhì)就是要婉轉(zhuǎn)地告訴我們：數(shù)位數(shù)并不是比較數(shù)的大小的本質(zhì)方法，它只是一種同樣湊巧（指碰到了整數(shù)）的簡(jiǎn)便方法；從高位一位一位地往下進(jìn)行同位相比才是最重要的。

（重要程度★★★★）

（3）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)既揭示了分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，又為通分、約分提供依據(jù)。

如同小數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)也擁有無(wú)窮多的等價(jià)變形：

就像0.5是最簡(jiǎn)形式一樣，分?jǐn)?shù)也有一個(gè)最簡(jiǎn)形式，就是分子、分母是互質(zhì)數(shù)的時(shí)候，也就是公因數(shù)只有1的時(shí)候，這時(shí)的分?jǐn)?shù)叫做“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”，比如上面的二分之一。一個(gè)分?jǐn)?shù)由“最簡(jiǎn)形式”到“不簡(jiǎn)形式”，或由“不簡(jiǎn)形式”到“最簡(jiǎn)形式”，是可以自由切換的，它們遵循的規(guī)則就是：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

約分的過(guò)程，其實(shí)就是不斷地對(duì)分子、分母除以它們的公因數(shù)，使其分子、分母不斷變小，直到“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”：

通分的過(guò)程恰好相反，就是不斷地?cái)U(kuò)大分子、分母，在無(wú)窮無(wú)盡的分母中，總會(huì)傻傻地找到相同的分母的（此時(shí)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位相同，可以直接進(jìn)行加減法計(jì)算）。當(dāng)然大家知道，有了“最小公倍數(shù)”之后，我們完全不用這么傻，此處只是盡力還原問(wèn)題最開(kāi)始的情況：

（4）比的基本性質(zhì)可以用來(lái)化簡(jiǎn)比，尋找比例。比如：

10：25＝（10÷5）：（25÷5）＝2：5

6：10和9：15

6：10＝6÷10＝0.6

9：15＝9÷15＝0.6

所以：6：10＝9：15（表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例）

比可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，比如：

自上而下讀為：10比25；而不是自下而上讀為：25分之10。這種形式似乎說(shuō)明“比的基本性質(zhì)”和“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”完全等價(jià)。我找不出十分突出的差別，因?yàn)樗鼈冊(cè)诒举|(zhì)上確實(shí)一致。我只找出了一些細(xì)枝末節(jié)的東西，比如“最簡(jiǎn)整數(shù)比”不再像“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”那樣成為比的表現(xiàn)形式的唯一追求。有時(shí)，人們對(duì)比的前項(xiàng)是1或后項(xiàng)是1的比更為青睞，比如：

10：25＝1：2.5＝0.4：1

1所代表的數(shù)量，往往是作為參考的“基準(zhǔn)”的。仔細(xì)閱讀您的數(shù)學(xué)書(shū)，或者仔細(xì)留意生活，您會(huì)發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)的。比如：地圖中的比例尺就會(huì)使用這種習(xí)慣。

本次的復(fù)習(xí)就至此打住吧。

再會(huì)。