當(dāng)幾何問題里要求證線段關(guān)系時(shí)，首先就應(yīng)通過觀察圖形，并根據(jù)已知的條件，將求證的線段關(guān)系轉(zhuǎn)換為等價(jià)的對應(yīng)線段。今天的這道經(jīng)典例題就利用兩種輔助線的方式，分別得到軸對稱圖形，進(jìn)而得到線段對應(yīng)關(guān)系。

例8 如圖5-18，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=100°，CD是角平分線。求證：BC=CD+AD

分析：本題要證的結(jié)論BC=CD+AD，是一條線段等于兩條線段的和，所以可根據(jù)線段和差關(guān)系的定義，在線段CB上截取CE=CD（如圖5-19），然后應(yīng)證BE=AD。由于截得的線段CE和CD是兩條具有公共端點(diǎn)的相等線段，所以它們可組成一個(gè)等腰三角形，現(xiàn)在這個(gè)等腰三角形只有兩條腰而沒有底邊，所以聯(lián)結(jié)DE（如圖5-19），就可得∠CDE=∠CED。

由條件AB=AC，∠A=100°，應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠ACB=1/2·(180°-100°)=40°，而CD是角平分線，所以∠BCD=1/2·40°=20°，于是就有∠CED=1/2·(180°-20°)=80°，從而就得到∠CED=2∠B，而由B、E、C成一直線，又有∠CED是△EBD的外角，由此就得△EBD是等腰三角形或BE=DE，這樣問題就成為應(yīng)證DE=AD。

由于條件中給出CD是角平分線，所以∠BCD和∠ACD這兩個(gè)相等的角就是關(guān)于CD成軸對稱的，從而就可以添加軸對稱型全等三角形進(jìn)行證明。由于圖形中已經(jīng)出現(xiàn)了對稱軸CD，所以添加的方法是將三角形沿對稱軸翻折，若考慮將△ACD沿CD翻折過去（如圖5-20），則由∠BCD=∠ACD，可知CA必定落在CB上，所以具體的添加方法就是：在CB上截取CF=CA，再聯(lián)結(jié)DF（如圖5-20）。則由CF=CA，∠FCD=∠ACD和CD=CD，就可得△FCD≌△ACD，DF=DA。這樣問題就轉(zhuǎn)化成要證DE=DF，而這又是兩條具有公共端點(diǎn)D的相等線段，它們可以組成一個(gè)等腰三角形，問題也就成為等腰三角形的判定問題，所以問題又應(yīng)轉(zhuǎn)化成證DE=DF的等價(jià)性質(zhì)∠DEF=∠DFE。但我們已證∠DEF=80°，從而又應(yīng)證∠DFE也等于80°，由于∠DFE是∠DFC的補(bǔ)角，而∠DFC=∠A=100°，所以分析可以完成。

本題在根據(jù)線段和差關(guān)系的定義來進(jìn)行分析時(shí)，也可以考慮將CD和AD這兩條線段接起來，也就是延長CD到E，使DE=DA（如圖5-21），那么問題就成為要證CE=CB。但這是兩條具有公共端點(diǎn)C的相等線段，它們可組成一個(gè)等腰三角形，于是聯(lián)結(jié)BE（如圖5-21），然后應(yīng)證CE=CB的等價(jià)性質(zhì)∠E=∠CBE。又因AB=AC，∠A=100°，所以∠ABC=∠ACB=40°，而CD是角平分線，所以∠BCD=20°那么問題也就是要證∠E=80°

由于∠BCD和∠ACD這兩個(gè)相等的角是關(guān)于CD成軸對稱的，所以可添加軸對稱型全等三角形進(jìn)行證明，于是在CB上截取CF=CA，并聯(lián)結(jié)DF（如圖5-21），即可得△ACD≌△FCD，DA=DF，∠DFC=∠A=100°，而B、F、C成一直線，所以∠BFD=80°，這樣問題就是要證∠E=∠BFD，而這一性質(zhì)也是等價(jià)于∠EBA=∠FBA=40°，所以△BDE和△BDF必定也是一對軸對稱型全等三角形而在這兩個(gè)三角形中，已經(jīng)出現(xiàn)的條件是DE=DA=DF，DB=DB，所以還要證一個(gè)性質(zhì)，由于上述已討論的兩組相等的角都是結(jié)論，不能用，所以只能證明第三個(gè)角，也就是這兩條對應(yīng)邊的夾角相等，即要證∠BDE=∠BDF。由條件AB、CE相交于D，可得∠BDE=∠CDA。而在△ACD中，∠CDA=180°-100°-20°=60°，而∠CDF=∠CDA，所以∠BDF=180°-2×60°=60°，所以∠BDE=∠BDF可以證明，分析也就可以完成。