動(dòng)量守恒中的臨界問(wèn)題

動(dòng)量守恒定律是力學(xué)中的一個(gè)重要規(guī)律。在運(yùn)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)，常會(huì)遇到相互作用的幾個(gè)物體間的臨界問(wèn)題，求解這類問(wèn)題要注意分析臨界狀態(tài)，把握相關(guān)的臨界條件。現(xiàn)將與動(dòng)量守恒定律相關(guān)的臨界問(wèn)題作一初步的分析和討論。

一. 涉及彈簧的臨界問(wèn)題

對(duì)于由彈簧組成的系統(tǒng)，在物體間發(fā)生相互作用的過(guò)程中，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧兩端的兩個(gè)物體的速度必相等。

  例1. 如圖（1）所示，在光滑的水平面上，用彈簧相連的質(zhì)量均為2kg的A、B兩物體以6m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)，質(zhì)量為4kg的物體C靜止在前方。A與C碰撞后將粘在一起運(yùn)動(dòng)，在以后的運(yùn)動(dòng)中，彈簧達(dá)到最大彈性勢(shì)能時(shí)，C的速度為多少？

圖（1）

解析：A、B以6m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，并與C發(fā)生碰撞。由于碰撞時(shí)間很短，可認(rèn)為碰撞僅發(fā)生在A與C之間，碰后A與C具有共同速度。

由動(dòng)量守恒定律有：

得：

A和C碰后合并為一個(gè)物體，由于物體B的速度大于A和C的速度，彈簧將被壓縮。接著，物體B做減速運(yùn)動(dòng)，A和C做加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)三個(gè)物體速度相同時(shí)，彈簧的壓縮量最大，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大。

由動(dòng)量守恒定律有：

得：

二. 涉及最大高度的臨界問(wèn)題

在物體滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的過(guò)程中，由于彈力的作用，斜面在水平方向?qū)⒆黾铀龠\(yùn)動(dòng)。物體滑到斜面上最高點(diǎn)的臨界條件是物體與斜面沿水平方向具有共同的速度，物體在豎直方向的分速度等于零。

  例2. 如圖（2）所示，質(zhì)量為M的槽體放在光滑水平面上，內(nèi)有半徑為R的半圓形軌道，其左端緊靠一個(gè)固定在地面上的擋板。質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放。若槽內(nèi)光滑，求小球上升的最大高度。

圖（2）

解析：設(shè)小球由A滑到最低點(diǎn)B時(shí)的速度為v₁，上升的最大高度為h。

由機(jī)械能守恒定律：①

∴②

小球在向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M和m組成的系統(tǒng)水平方向總動(dòng)量守恒，設(shè)它們?cè)谧罡唿c(diǎn)時(shí)水平方向的共同速度為v₂，則有：③

整個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒：④

由②~④式得小球上升的最大高度：。

三. 涉及追碰的臨界問(wèn)題

兩個(gè)在光滑水平面上做勻速運(yùn)動(dòng)的物體，甲物體追上乙物體的條件是甲物體的速度V_甲必須大于乙物體的速度V_乙，即V_甲>V_乙，而甲物體剛好追不上乙物體的臨界條件是V_甲=V_乙。

  例3. 甲、乙兩個(gè)小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車的總質(zhì)量共為M=30kg，乙和他的冰車的總質(zhì)量也是30kg，甲推著一個(gè)質(zhì)量為m=15kg的箱子，和他一起以大小為V₀=2m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來(lái)，為了避免相碰，甲突然將箱子沿冰面推給乙，箱子滑到乙處時(shí)乙迅速把它抓住。若不計(jì)冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相對(duì)于冰面）將箱子推出，才能避免與乙相撞。

解析：當(dāng)甲把箱子推出后，甲的運(yùn)動(dòng)存在三種可能：

①繼續(xù)向前，方向不變；

②停止運(yùn)動(dòng)；

③反向運(yùn)動(dòng)。以上三種推出箱子的方法，由動(dòng)量守恒定律可知，第一種推法箱子獲得的速度最小，若這種推法能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，則箱子獲得的速度最小，設(shè)箱子的速度為V，取甲運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，則對(duì)甲和箱子在推出過(guò)程運(yùn)用動(dòng)量守恒定律：

①

箱子推出后，被乙抓住，為避免甲、乙相撞，則乙抓住箱子后必須后退，對(duì)乙和箱子運(yùn)動(dòng)動(dòng)量守恒定律得：

②

要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度為最小速度的臨界條件為：

③

解以上三式得：v=5.2m/s

四. 涉及子彈打木塊的臨界問(wèn)題

子彈打木塊是一種常見的模型。子彈剛好擊穿木塊的臨界條件為子彈穿出時(shí)的速度與木塊的速度相同。

  例4. 靜止在光滑水平面上的木塊，質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)。一顆質(zhì)量為m的子彈從木塊的左端打進(jìn)。設(shè)子彈在打穿木塊的過(guò)程中受到大小恒為F_f的阻力，要使子彈剛好從木塊的右端打出，則子彈的初速度V₀應(yīng)等于多大？

解析：取子彈和木塊為研究對(duì)象，它們所受到的合外力等于零，故總動(dòng)量守恒。由動(dòng)量守恒定律得：

①

要使子彈剛好從木塊右端打出，則必須滿足如下的臨界條件：

②

根據(jù)功能關(guān)系得：

③

解以上三式得：