一、什么是黃金分割

為什么女孩子喜歡穿高跟鞋？為什么有的人拍的照片令人賞心悅目？為什么書的尺寸不是隨意的？這些都與美有關(guān)。如果用數(shù)學(xué)語言來解釋，它們都與“黃金分割”這一數(shù)學(xué)原理有關(guān)。華東師大版初中數(shù)學(xué)教材在九年級(jí)上冊(cè)第56頁通過一個(gè)“閱讀材料”給出了黃金分割這一知識(shí)點(diǎn)。黃金分割集數(shù)學(xué)的科學(xué)性、人文性和應(yīng)用性于一體，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的極佳素材。

一

什么是黃金分割

歐幾里得《幾何原本》在第六卷給出了如下的定義3：

分一線段為二線段，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱此線段被分為中外比。

中外比就是我們通常所稱的黃金分割。如圖1，如果 AB∶AP＝AP∶PB，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)。

圖1

二

黃金分割與斐波那契數(shù)列

如下數(shù)列｛Fn｝：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)均等于前面兩項(xiàng)之和。

這個(gè)數(shù)列是由生于意大利比薩的萊昂納多·斐波那契首先加以研究的，稱為斐波那契數(shù)列。

可以得出

式（3）可以利用圖2即刻得出。

圖2

三

黃金分割與賈憲三角

賈憲三角中藏著斐波那契數(shù)列。把賈憲三角左對(duì)齊，按如圖3所示的斜線求和，就可得到斐波那契數(shù)列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34…

圖3

圖4

如圖5，把賈憲三角中的奇數(shù)和偶數(shù)用不同的顏色區(qū)分開來，得到的正好是形如圖6所示的分形（謝爾賓斯基三角形）。

圖5

圖6

四

黃金分割與黃金矩形

可知：分別以斐波那契數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)為長和寬的矩形可以分成一些正方形。由此我們給出如下定義：如果一個(gè)矩形的長、寬之比等于φ，則稱該矩形為黃金矩形。

如圖7上，不妨設(shè)黃金矩形的長為φ，寬為1。如果我們從中減去一個(gè)正方形，那么余下的矩形還是一個(gè)黃金矩形。

如圖7下，將黃金矩形中各正方形的會(huì)合點(diǎn)用一條曲線連接起來，得到一條優(yōu)美的曲線，它接近于“對(duì)數(shù)螺線”。

圖7

圖8所示的矩形雖然不是黃金矩形，但也具有一種令人滿意的對(duì)稱性，這也可能是用它來度量紙張大小的原因吧。

圖8

五

黃金分割與海螺線

我們已經(jīng)知道，在嵌套的黃金矩形中依次連接各正方形的會(huì)合點(diǎn)就得到一條螺線。如圖9所示，顧名思義，螺線就是一種貌似螺殼的曲線。

圖9

17世紀(jì)解析幾何的創(chuàng)立者笛卡爾首先給出了螺線的解析式，即在極坐標(biāo)下：

其圖象如圖10所示。

圖10

雅谷·伯努利對(duì)螺線進(jìn)行了深刻研究，死后遵照其遺囑在他的墓碑上刻有一條對(duì)數(shù)螺線，旁邊還寫道：“雖然改變了，我還是和原來一樣！”（如圖11）

圖11

如圖12，向日葵籽在花盤上是按螺線方式排列的。

圖12

螺線也被廣泛用于生活的各個(gè)領(lǐng)域，如螺釘上面的鏜線就是一條條的螺線。我們描述事物的發(fā)展規(guī)律也常常說“螺線式”上升。

六

黃金分割與“優(yōu)選法”

華羅庚先生大力提倡的“優(yōu)選法”也常被稱為0.618法：用優(yōu)選法在一個(gè)區(qū)間中所選的兩個(gè)點(diǎn)，就是此區(qū)間上的左、右黃金分割點(diǎn)。即優(yōu)選法的理論基礎(chǔ)是黃金分割。

有人提出過一個(gè)“小康型購物公式”：

小康型消費(fèi)價(jià)格=0.618×（高檔消費(fèi)價(jià)格－低檔消費(fèi)價(jià)格）+低檔消費(fèi)價(jià)格。

它的圖示如圖13所示。

圖13

也就是說：你在選購商品時(shí)，根據(jù)自己的財(cái)力狀況，若認(rèn)為高檔價(jià)格過于昂貴，而低檔價(jià)格的商品款式、性能等又不盡如人意，那么你可以選購價(jià)格為上面公式所給的檔次的商品——它的價(jià)格中等偏上，堪稱“小康”水準(zhǔn)。

七

美是算出來的

1.黃金分割與維拉斯雕像（如圖14）。

圖14

2.黃金分割與《蒙娜麗莎的微笑》（如圖15）。

圖15

3.黃金分割與“蘋果”手機(jī)的Logo（如圖16）。

圖16

4.黃金分割與攝影

如圖17～18所示，攝影構(gòu)圖時(shí)常常使用九宮格構(gòu)圖法，即讓需要表現(xiàn)的主體位于黃金分割點(diǎn)。

圖17

圖18

八

大自然是按數(shù)學(xué)規(guī)律設(shè)計(jì)的

如圖19所示，我們可以從花的瓣數(shù)中，找到斐波那契數(shù)列：花瓣數(shù)通常是3，5，8，13，…

圖19

如圖20，觀察植物的葉片并填寫下表：

我們?cè)诒砀裰校吹降倪@一列數(shù)字就是我們說的斐波那契數(shù)字，植物的葉子這樣排列，可以讓每片葉子獲得很好的陽光份額，并捕獲最多的雨水，以便沿著樹葉流向樹干。

圖20

不少植物葉狀雖然不同，但其排列卻有相似之處，比如相鄰兩張葉片在與莖垂直的平面上的投影夾角是137°28′（如圖21），這個(gè)角度正是把圓周分為1：0.618…的兩條半徑的夾角。科學(xué)家經(jīng)計(jì)算表明：這個(gè)角度對(duì)植物葉子通風(fēng)、采光來講，都是最佳的。

圖21

九

黃金分割的教學(xué)建議

黃金分割盡管在教材中是一個(gè)閱讀材料，但應(yīng)充分利用這一知識(shí)點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，并在學(xué)習(xí)過程中得到數(shù)學(xué)美的熏陶。

1.把黃金分割作為溝通數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶

黃金分割這一知識(shí)點(diǎn)與比例、一元二次方程、連分?jǐn)?shù)、數(shù)列、極限、黃金矩形、螺線等數(shù)學(xué)知識(shí)都建立了聯(lián)系。教學(xué)中，應(yīng)充分利用黃金分割這一紐帶，強(qiáng)化這些數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體性。

2.把黃金分割作為溝通人自身、社會(huì)、自然之間關(guān)系的紐帶

黃金分割溝通了人自身（對(duì)美的追求）、社會(huì)（美是算出來的）、自然（大自然是按數(shù)學(xué)規(guī)律設(shè)計(jì)的）之間的聯(lián)系。教學(xué)中，應(yīng)讓充分利用黃金分割這一載體，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，從而樹立正確的數(shù)學(xué)觀。

3.黃金分割評(píng)價(jià)舉例

對(duì)黃金分割的評(píng)價(jià)，應(yīng)把重點(diǎn)放在讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。例如可命制如下問題：

【2010年佛山市中考題】一般認(rèn)為，如果一個(gè)人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個(gè)人好看。如圖22，是一個(gè)參加空姐選拔的選手的身高情況，那么她應(yīng)穿多高的鞋子才能好看？（精確到1cm）

圖22

參考文獻(xiàn)

[1] 李大潛. 黃金分割漫話[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[2] 吳振奎，吳旻. 數(shù)學(xué)中的美[M]. 上海教育出版社，2004.

[3] [英]Tony Crill. 影響數(shù)學(xué)發(fā)展的20個(gè)大問題[M]. 北京：人民郵電出版社，2012.