在學(xué)習(xí)了作軸對稱圖形之后，人教版八年級上冊P42，有這樣一個問題：

這種模型就是著名的“將軍飲馬”問題：

解決方法如上面圖（2），作點B（點A也行）關(guān)于直線l的對稱點B′,連接A B′交直線l于點C，則點C就是要找的使輸氣管道最短的位置。其原理就是“三角形任意兩邊之和大于第三邊”(北師大版七下第五章123頁第5題類似)。

求兩線段之和最小是最值問題中很基本的一個模型，一般已知兩定點一動點，動點在某條定線上，兩定點在定線同側(cè)。求解步驟為：①利用軸對稱作其中任一定點關(guān)于定線的對稱點；②連接對稱點和另外一個定點，交定直線于某點，此點即為所求；③利用勾股定理等知識求解算出答案。

這一類問題也是當(dāng)今中考的熱點題型之一，通常會以角、三角形、四邊形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線為載體出題。

還有一種類型是固定長度線段MN在直線l上滑動，求AM MN BN的最小值。這時需平移BN（或AM），轉(zhuǎn)化為求解決，如下圖所示．

本文講練結(jié)合，對線段和最小值問題的原理、常見題型及解法思路層層剖析，后面附有練習(xí)題和配套答案，力求能使大家熟練掌握這種求最值的方法。

【典例】

1、如下圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC＋ED的最小值為_______。

解析：如下圖，過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于E，連接CE，此時DE CE=DE EC′=DC′的值最?。?/p>

連接BC′，由對稱性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，

∴BC=BC′=2，∵D是BC邊的中點，∴BD=1，根據(jù)勾股定理可得DC′=√5，故答案為：√5.

2、如下圖，在邊長為2㎝的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為____________㎝（結(jié)果不取近似值）.

解析：因為BQ是定值，所以求△PBQ周長的最小值就是在AC上求一點P，使PB PQ的值最小即可，依然是標(biāo)準(zhǔn)的軸對稱模型，如果你能這樣考慮，恭喜你答對了，下面就按照此類模型的標(biāo)準(zhǔn)解法做就行了。

如下圖，因為點B關(guān)于AC的對稱點是D點，所以連接DQ，與AC的交點P就是滿足條件的點DQ = PD PQ = PB PQ，故DQ的長就是PB PQ的最小值，在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2，根據(jù)勾股定理，得，DQ = √5

3、如下圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的夾角中有一個油庫，設(shè)為點P，如在兩條公路上各設(shè)置一個加油站，，請你設(shè)計一個方案，把兩個加油站設(shè)在何處，可使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短。

解析： 這是一個實際問題，需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會用軸對稱模型，分別做點P關(guān)于直線OA和OB的對稱點P?、P? ，連結(jié)P?P?分別交OA、OB于C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短的地點.

4、如下圖，村莊A、B位于一條小河的兩側(cè)，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設(shè)一座與河岸垂直的橋CD，問橋址應(yīng)如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？

（類似的問題在北師大版8下第三章90頁第18題，課本上還多一問：橋建在何處才能使A、B到橋的距離相等？你怎么回答？）

作法：設(shè)a、b的距離為h。

①把點B豎直向上平移h個單位得到點B'；

②連接AB'交a于C；

③過C作CD⊥b垂足為D；

④連接BD。

證明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，

∴四邊形BB'CD是平行四邊形，∴CB'＝BD

∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B

在a上任取一點C'，作C'D'，連接AC'、D'B，C'B'

同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B

而AC'＋C'B'>A B'

∴AC＋CD＋DB最短。

點評：本題是研究AC＋CD＋DB最短時的C、D的取法，而ＣＤ是定值，所以問題集中在研究AC＋DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移B＇---C處，則AC＋DB可轉(zhuǎn)化為AC＋CB'，要使AC＋CB'最短，顯然，A、C、B'三點要在同一條直線上。

講這么多了，該一試身手了

【強(qiáng)化練習(xí)】

1、如下圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求ME MC的最小值。

2、如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A（3，－2），B（4，2）兩點，現(xiàn)另取一點C（1，n），當(dāng)n =______時，AC BC的值最?。?/p>

3、如下圖，一次函數(shù)y=kx b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．

（1）求該函數(shù)的解析式；

（2）O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo)．

4、如下圖，A、B是直線a同側(cè)的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP PQ QB的長最短？

【答案】

1、因為點C關(guān)于直線AD的對稱點是點B，所以連接BE，交AD于點M，則ME MD最小，如下圖，過點B作BH⊥AC于點H，則EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，根據(jù)勾股定理可得BH = 3√3，在直角△BHE中，可求得BE = 2√7

2、點C（1，n），說明點C在直線x=1上，所以作點A關(guān)于直線x=1的對稱點A'，連接A'B，交直線x=1于點C，則AC BC的值最小，設(shè)直線A'B的解析式為y=kx b，則-2=-k b，

2=4k b，解：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5)

當(dāng)x = 1時，y = -(2/5) 故當(dāng)n = -(2/5)時，AC BC的值最小

3、(1)由題意得：0 = 2x b 4 = b 解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x 4

(2)如下圖，作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'D，交y軸于點P，則C'D = C'P PD = PC PD

C'D就是PC PD的最小值，連接CD，則CD = 2，CC' = 2，在直角△C'CD中，根據(jù)勾股定理

C'D = 2√2 求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)

所以，有0 = -k b 2 = k b

解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 當(dāng)x = 0時，y =1，則P(0，1)

4、作法：(假設(shè)P'Q'就是在直線L上移動的定長線段)

1)過點B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB',使它等于定長P'Q'；

2)作出點A關(guān)于直線L的對稱點A'，連接A'B'，交直線L于P；

3)在直線L上截取線段PQ=P'Q..

則此時AP PQ BQ最小.

略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊形PQBB'與P'Q'BB'均為平行四邊形.

下面只要說明AP BQ

點A與A'關(guān)于直線L對稱，則AP=A'P,AP'=A'P'.

故:AP BQ=A'P B'P=A'B'; AP' BQ'=A'P' B'P'.

顯然,A'B'