生活中我們常常出現(xiàn)的打牌、猜拳、下棋、踢球等行為主題選擇策略并相互影響的過(guò)程可以稱之為博弈，博弈論則是指研究決策主體的行為發(fā)生直接相互作用時(shí)候的決策，以及這種決策的均衡問(wèn)題。

博弈論通常用來(lái)進(jìn)行決策、均衡等目的。

值得注意的是，博弈模型只適用于行為主體之間的行動(dòng)決策會(huì)相互影響的情況，若制定決策時(shí)不考慮其他行為主體的反應(yīng)或力量，則博弈模型不成立。

舉個(gè)例子

??家裝市場(chǎng)上裝修公司之間的競(jìng)爭(zhēng)

??美國(guó)與前蘇聯(lián)的軍備競(jìng)賽

??聯(lián)通招募新員工

??一家電力公司在估計(jì)了未來(lái) 10 年對(duì)電力的需求后決定是否購(gòu)買一套新的發(fā)電機(jī)組

博弈有 6 大構(gòu)成要素：參與人 players、行動(dòng) actions、信息 information、策略 strategies、收益 payoffs、均衡 equilibria。接下來(lái)通過(guò)一個(gè)試驗(yàn)案例來(lái)形象地理解這些要素的定義。

舉個(gè)例子

假設(shè)每個(gè)人都被賜予一個(gè)相同的企業(yè)，生產(chǎn)相同的產(chǎn)品。你要為你的產(chǎn)品定價(jià)，每個(gè)人都有兩個(gè)選擇：

選擇高價(jià)，期望以高價(jià)維持利潤(rùn)；

選擇低價(jià)，以價(jià)格優(yōu)勢(shì)得到高利潤(rùn)。

*每個(gè)人只能選擇一種經(jīng)營(yíng)方式

可以想象，如果別人選擇高價(jià)，而你選擇低價(jià)，你會(huì)得到比其他人更高的利潤(rùn)。但如果你們同時(shí)選擇低價(jià)則都只能得到較低的利潤(rùn)。若同時(shí)選擇高價(jià)同時(shí)得到較高的利潤(rùn)。

1# 信息

信息指參與人在博弈中的知識(shí)，特別是有關(guān)其他參與人（對(duì)手）的特征和行動(dòng)的知識(shí)。在上面的案例中所有人都知道的有兩個(gè)信息元素（完全信息），生產(chǎn)方式 1 和生產(chǎn)方式 2 的內(nèi)容。

信息在博弈中非常重要，最大程度影響著參與人策略的制定，其余因素都是通過(guò)信息的方式輸入到參與者腦中，并產(chǎn)生決策。

信息主要包括兩個(gè)方面：對(duì)博弈參與人的了解和對(duì)博弈過(guò)程的了解，其中后者僅限于動(dòng)態(tài)博弈（下文會(huì)介紹分類）。根據(jù)這兩種類型的信息延伸出兩種特殊的概念：

• 完全信息，每個(gè)參與人都知道其他所有參與人的特征（收益函數(shù)等）；
• 完美信息，所有參與人都知道博弈樹(shù)的結(jié)構(gòu)。

2# 策略

策略是博弈參與人選擇行動(dòng)的規(guī)則，它決定參與人在什么時(shí)候選擇什么行動(dòng)。俗話說(shuō)的「人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人」、「己所不欲，勿施于人」、「以眼還眼，以牙還牙」等都是指導(dǎo)行動(dòng)的規(guī)則，即策略。

3# 參與人

參與人是指做決策的個(gè)體。每個(gè)參與人的目標(biāo)都是通過(guò)選擇行動(dòng)來(lái)最大化自身的效用。

4# 行動(dòng)

參與人 i 的行動(dòng)或活動(dòng)，以 ai表示所能做的某一個(gè)選擇，例如在上文的試驗(yàn)中，每個(gè)人都可以選擇生產(chǎn)方式 1 和生產(chǎn)方式 2 這兩種行動(dòng)。其可以采用的所有行動(dòng)的集合稱為參與人 i 的行動(dòng)集，表示為：

5# 收益

收益指參與人從博弈中獲得的效用水平，它是所有參與人的戰(zhàn)略或行動(dòng)的函數(shù)，是每個(gè)參與人真正關(guān)心的東西。每個(gè)人的收益都依賴于所有人的行動(dòng)選擇。

6# 均衡

均衡是所有參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略或者行動(dòng)的組合，也就是博弈過(guò)程的解。

均衡是博弈論的核心，它的發(fā)展代表了博弈論的發(fā)展，均衡的定義與博弈的分類密切相關(guān)。

博弈主要有兩種表述方式，戰(zhàn)略式與擴(kuò)展式。

戰(zhàn)略式又稱策略式，一般用于參與人同時(shí)行動(dòng)的靜態(tài)博弈，二人情況下就是常見(jiàn)的矩陣式表述，如上文企業(yè)的高低價(jià)案例若兩個(gè)企業(yè)之間價(jià)格博弈用矩陣式可表達(dá)為：

擴(kuò)展式針對(duì)參與人行動(dòng)有先后順序的動(dòng)態(tài)博弈，常見(jiàn)的是博弈樹(shù)表述（參與人個(gè)數(shù)不限）。仍然以第一個(gè)案例為原型，假設(shè)兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品要通過(guò)打折活動(dòng)促進(jìn)銷量，企業(yè) B 根據(jù)企業(yè) A 的打折活動(dòng)情況決定是否打折，他們之間的博弈樹(shù)表述如下：

接下來(lái)通過(guò)博弈的分類深入了解它的概念，如下表所示，根據(jù)博弈的行動(dòng)順序與信息種類可以將它大致分為四類：

完全信息靜態(tài)博弈-納什均衡

完全信息靜態(tài)博弈指每個(gè)參與者了解所有對(duì)手的特性，且博弈在一個(gè)階段完成。

對(duì)于完全信息靜態(tài)博弈的解一般都是納什均衡，納什均衡是由所有參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略組成的戰(zhàn)略組合。即在給定別人戰(zhàn)略的情況下，沒(méi)有單個(gè)人有積極性打破這種選擇，從而沒(méi)有任何人有積極性打破這種均衡。

經(jīng)典案例有囚徒困境、智豬博弈等。

囚徒困境

有兩位參與人演奏家與 Tom 面臨被警官抓捕審訊的場(chǎng)景，他們分別有兩種行動(dòng)策略：坦白與抵賴。根據(jù)他們不同的行動(dòng)策略其收益如下：

兩人都坦白—各判刑 8 年；

演奏家坦白， Tom 抵賴—演奏家釋放， Tom 被判刑 10 年，反之亦然；

兩人都抵賴—各判刑 1 年。

根據(jù)以上信息用矩陣式表述如下表：

根據(jù)占優(yōu)策略來(lái)看，選擇「坦白」對(duì)雙方各自的收益都是最佳的。所謂占優(yōu)策略就是不論別人怎么選擇，這個(gè)策略都會(huì)給你帶來(lái)較好的結(jié)果，但顯然根據(jù)此策略就會(huì)陷入囚徒困境的得到（-8，-8）的結(jié)果，只有彼此信任合作均衡才能達(dá)到兩個(gè)人都抵賴的最小損失結(jié)果（-1，-1）。

在現(xiàn)實(shí)生活的商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)中經(jīng)常會(huì)遇到囚徒困境，例如壟斷企業(yè)的價(jià)格選擇。

智豬博弈

食槽在一端，開(kāi)關(guān)按鈕在另一端。每按一次按鈕有 10 個(gè)單位豬食進(jìn)槽，但按鈕者需要付 2 個(gè)單位成本。一頭大豬與一頭小豬都有兩種行動(dòng)策略：按按鈕與等待。根據(jù)他們的不同選擇有以下收益：

大豬先到—大豬吃 9 單位，小豬 1 單位；

同時(shí)到—大豬吃 7 單位，小豬吃 3 單位；

小豬先到，大豬吃 6 單位，小豬 4 單位。

此博弈的表述如下：

首先從小豬的兩種選擇收益來(lái)看，若小豬選擇「按」則它屬于絕對(duì)劣勢(shì)，因此排除該選項(xiàng)，接著可以看出最佳策略就是大豬「按」小豬「等待」的小豬先到選項(xiàng)。

智豬博弈通常應(yīng)用在公共產(chǎn)品的供給、新技術(shù)或新產(chǎn)品的研發(fā)等現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景。通俗來(lái)講，正常情況下體量較小的公司不會(huì)付出太多成本進(jìn)行新技術(shù)的研發(fā)。

情侶博弈

一對(duì)情侶安排周末的活動(dòng)，兩人的愛(ài)好不同，男孩喜歡看足球比賽，女孩想去看芭蕾舞。根據(jù)不同選擇得出收益如下：

兩人一起看足球賽—男孩效用 2，女孩 1；

兩人一起看芭蕾舞—男孩效用 1，女孩 2；

各自去做自己喜歡的事—效用都是 0。

此博弈的表述如下：

在情侶博弈的對(duì)局中，雙方都沒(méi)有占優(yōu)策略，他們的最優(yōu)策略依賴于對(duì)方的選擇。在這個(gè)對(duì)局中同時(shí)出現(xiàn)了兩個(gè)均衡，這種均衡叫做納什均衡。

納什均衡是指在對(duì)手的策略是既定的情況下，各個(gè)對(duì)局者所選擇的策略都是最好的。納什均衡中有兩種特殊情況，分別為占優(yōu)戰(zhàn)略均衡與重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡。

占優(yōu)戰(zhàn)略均衡

在上文的囚徒困境中提到過(guò)，「坦白」對(duì)于參與人雙方都是占優(yōu)戰(zhàn)略，因此（坦白，坦白）是囚徒困境博弈中的占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。

從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，定義 Si*為參與人 i 的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略，S-i為除了 i 外的參與者的策略選擇。如果對(duì)所有的 S-i來(lái)說(shuō)Si*是 i 的嚴(yán)格最優(yōu)選擇，即

如果對(duì)所有的 i 來(lái)說(shuō) Si*是占優(yōu)戰(zhàn)略，那么

這種情況稱為占優(yōu)戰(zhàn)略均衡（dominant-strategy equilibrium）。

重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡

在無(wú)法直接找出占優(yōu)戰(zhàn)略均衡的情況下，我們可以找出某個(gè)參與人的劣戰(zhàn)略，把這個(gè)劣戰(zhàn)略剔除，構(gòu)造一個(gè)新的博弈（不包含已剔除的戰(zhàn)略）；對(duì)新的博弈重復(fù)上述過(guò)程，直到只剩下唯一的一個(gè)戰(zhàn)略組合為止，這個(gè)唯一剩下的戰(zhàn)略組合就是這個(gè)博弈的均衡解，稱為「重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡」。

如上文的智豬博弈案例，它就是通過(guò)先排除小豬的絕對(duì)劣勢(shì)選項(xiàng)，進(jìn)而推斷出最終答案。

同樣用數(shù)學(xué)角度來(lái)看，令Si'和 Si' 是參與人 i 可選擇的兩個(gè)戰(zhàn)略，即

如果對(duì)任意的其他參與人的戰(zhàn)略組合 S-i，參與人 i 選擇 Si'得到的收益嚴(yán)格小于選擇 Si'得到的收益，即

則我們說(shuō)戰(zhàn)略 Si'嚴(yán)格劣于戰(zhàn)略 Si'。

納什均衡

從占優(yōu)戰(zhàn)略均衡到納什均衡是層層遞進(jìn)的，因此構(gòu)成納什均衡的戰(zhàn)略一定是重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略過(guò)程中不能被剔除的戰(zhàn)略。

設(shè)有 n 個(gè)參與人的戰(zhàn)略式表述博弈

為一個(gè)納什均衡。如果對(duì)于每個(gè) i 來(lái)說(shuō) Si*是給定其他參與人選擇

的情況下的 i 個(gè)參與人的最優(yōu)戰(zhàn)略，即

純納什均衡可以通過(guò)劃線法得到，通過(guò)以下例子感受一下：

首先假設(shè) A 選定 R1，則 B 在該行選擇最優(yōu)的收益下劃線，同理分別選定 R2、R3后假設(shè) B 選定 C1，則 A 在該列選擇最優(yōu)的收益下劃線，再同理選定 C2、C3，最終可得出以下矩陣：

最終選擇下方有兩條線的為最優(yōu)策略，即表內(nèi)的（R1,C1）與（R1,C3）。

混合策略納什均衡

當(dāng)純納什均衡也無(wú)法得出時(shí)，不妨試試混合策略納什均衡：給各個(gè)策略加上概率！即反應(yīng)函數(shù)方法。

以下列矩陣式為例，假設(shè)策略 U 與策略 L 的選擇概率為 πu 與 πl(wèi)。

當(dāng)

時(shí)為最優(yōu)策略函數(shù)，那么根據(jù)參與人 A 與參與人 B 的分別兩種假設(shè)情況帶入可以得出以下函數(shù)：

結(jié)合兩個(gè)函數(shù)可得出：

即當(dāng)

時(shí)可得到納什均衡。

據(jù)以上多個(gè)實(shí)例我們可以看出納什均衡是具有多重性的，為了解決它的不唯一提出了許多均衡概念，如風(fēng)險(xiǎn)上策均衡、焦點(diǎn)均衡、防共謀均衡等（僅指靜態(tài)博弈）。

不完全信息靜態(tài)博弈—貝葉斯納什均衡

不完全信息專指博弈中參與人對(duì)其他參與人與該博弈有關(guān)的事前信息了解不充分，而不是博弈中產(chǎn)生的與局中人實(shí)際策略選擇有關(guān)的信息。

*事前信息指關(guān)于在博弈實(shí)際開(kāi)始之前局中人所處地位或者狀態(tài)的信息，這種地位與狀態(tài)對(duì)于博弈局勢(shì)會(huì)產(chǎn)生影響。

博弈中的不完全信息具有多種形式，如參與人對(duì)其他參與人(或自己)所掌握的自然資源、人力資源、商業(yè)經(jīng)驗(yàn)、決策能力的了解不充分，對(duì)其他參與人偏好、品位、可用策略的了解不完全，對(duì)處于同一種博弈局勢(shì)的局中人的具體數(shù)目了解不完全等。

一個(gè)總結(jié)：參與人對(duì)其他參與人的收益函數(shù)的不完全了解。

了解完不完整信息接著看「不完全信息靜態(tài)博弈」，它主要包含 5 個(gè)要素：

• 參與人集合

• 類型空間

• 概率分布

• 策略集

• 收益函數(shù)

其中每個(gè)參與人都有一個(gè)類型空間及其在全體類型空間

上的概率分布、與其他參與人無(wú)關(guān)的策略集、依賴于策略組合和自認(rèn)類型

的收益函數(shù)，只要滿足以上要素就是不完全信息靜態(tài)博弈（貝葉斯靜態(tài)博弈），表示為：

當(dāng)參與人 i 自身的類型為

時(shí)，他選擇策略

的期望收益為：

在不完全信息靜態(tài)博弈中，若

是一個(gè)策略組合，且對(duì)每一個(gè)

和

都有：

則稱策略組合

是一個(gè)貝葉斯納什均衡。

酒商與顧客的博弈

一商人到某城鎮(zhèn)去賣酒，該商人可能是誠(chéng)實(shí)的，賣好酒；也可能是不誠(chéng)實(shí)的，賣假酒，酒商有加強(qiáng)宣傳賣高價(jià)和只賣低價(jià)兩個(gè)策略。而該城鎮(zhèn)中的消費(fèi)者也有兩類，有飲酒嗜好和無(wú)此嗜好的，他們有買酒和不買酒兩個(gè)策略。

商人不知道來(lái)買酒的消費(fèi)者是否嗜酒，而消費(fèi)者也不知道商人是否誠(chéng)實(shí)。

此博弈的收益表述如下：

顯然商人的類型有兩種：

其中前者為誠(chéng)實(shí)，后者為不誠(chéng)實(shí)；

消費(fèi)者類型也有兩種：

其中前者為嗜酒，后者為不嗜酒。

并記商人的策略集為：

其中前者為高價(jià)賣酒，后者為低價(jià)賣酒；

消費(fèi)者的策略集為：

其中前者為買酒，后者為不買酒。

根據(jù)該城鎮(zhèn)歷年來(lái)的記載有如下的情況：

• 嗜酒者遇到誠(chéng)實(shí)商人的概率為 0.2，

• 嗜酒者遇到不誠(chéng)實(shí)商人的概率為 0.4，

• 不嗜酒者遇到誠(chéng)實(shí)商人的概率為 0.1，

• 不嗜酒者遇到不誠(chéng)實(shí)商人的概率為 0.3，

根據(jù)貝葉斯法則可得出：

設(shè)酒商在類型為 A1時(shí)混合策略為

類型為 A2 時(shí)混合策略為

消費(fèi)者在類型為 B1時(shí)的混合策略為

類型為B2時(shí)的混合策略為

根據(jù)收益表可得酒商在類型為 A1時(shí)兩種收益矩陣為：

根據(jù)上文所述公式可得出期望收益為：

并且需要滿足以下條件：

通過(guò)以上不等式可得出：

同理我們得出其它三種情況的不等式組分別為：

最后對(duì)這四個(gè)不等式組進(jìn)行聯(lián)合求解即可得出貝葉斯納什均衡。其中引入依賴于策略組合和自認(rèn)類型ti的收益函數(shù)的方法被稱為海薩尼轉(zhuǎn)換。即在風(fēng)險(xiǎn)條件下，參與人 B 雖然不知道參與人 A 的類型，但可以知道不同類型的分布概率，將不確定性條件下的選擇轉(zhuǎn)換為風(fēng)險(xiǎn)條件下的選擇稱為海薩尼轉(zhuǎn)換。

動(dòng)態(tài)博弈

參與人的行動(dòng)有先后順序，而且行動(dòng)在后者可以觀察到行動(dòng)在先者的選擇，并據(jù)此作出相應(yīng)的選擇的博弈稱為動(dòng)態(tài)博弈，也叫「多階段博弈」。

動(dòng)態(tài)博弈的困難在于，在前一刻最優(yōu)的決策在下一刻可能不再為最優(yōu)，因此在求解上發(fā)生很大的困難，下棋就是經(jīng)典的動(dòng)態(tài)博弈案例。

動(dòng)態(tài)博弈根據(jù)信息是否完整分為完全信息動(dòng)態(tài)博弈與不完全信息動(dòng)態(tài)博弈。

完全信息動(dòng)態(tài)博弈往往通過(guò)逆向歸納法求解得出子博弈精煉納什均衡，逆向歸納法就是從動(dòng)態(tài)博弈的最后一個(gè)階段或最后一個(gè)子博弈開(kāi)始，逐步向前倒推以求解動(dòng)態(tài)博弈均衡的方法。對(duì)于擴(kuò)展式博弈的策略組合，如果它是原博弈的納什均衡，并且在每一個(gè)子博弈上也都構(gòu)成納什均衡，則它是一個(gè)子博弈精煉納什均衡。

不完全信息動(dòng)態(tài)博弈得出的解稱為精煉貝葉斯均衡，它是完全信息動(dòng)態(tài)博弈的精煉納什均衡與不完全信息靜態(tài)博弈的貝葉斯均衡的結(jié)合體。精煉貝葉斯均衡的要點(diǎn)在于參與人要根據(jù)所觀察到的其他參與人的行為來(lái)修正自己有關(guān)后者的「信念」，即主觀概率，并由此選擇自己的行動(dòng)策略。修正過(guò)程中使用的是貝葉斯規(guī)則，即每個(gè)參與人都假定其他參與人選擇的是均衡戰(zhàn)略。