知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

在高中物理學(xué)習(xí)中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的問題。這類問題一般有小船渡河的時(shí)間最小，位移最小，速度最小三種情況：

問題一：小船如何渡河時(shí)間最小，最小時(shí)間為多少？

分析及解答：設(shè)河寬為d，小船在靜水中的速度為V_船，水流速度為V_水，如圖1中的甲。將船對(duì)水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影響渡河的快慢，小船渡過河時(shí)時(shí)間與垂直河岸方向的速度有關(guān)，當(dāng)小船垂直河岸渡過河時(shí)時(shí)間最小，即最小時(shí)間為t_min=d/V_船。

[例題1]：河寬60m,小船在靜水中的速度為4m/s,水流速度為3m/s。求小船渡河的最小時(shí)間是多少，小船實(shí)際渡河的位移為多大？

分析及解答：如圖1中的乙，當(dāng)小船垂直河岸渡過河時(shí)時(shí)間最小，即最小時(shí)間為t_min=d/V_船。

  ∴t_min=d/V_船=60/4=15(s)。

小船實(shí)際渡河的位移S_AB=V_合t_min=5*15=75(m).

問題二：小船如何渡河到達(dá)對(duì)岸的位移最小，最小位移是多少？

分析及解答：在小船渡河過程中，將船對(duì)水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如圖2中的甲。當(dāng)小船沿平行河岸方向的分速度與水速大小相等，方向相反時(shí)，即V₁=V_水，小船的合速度（V₂）就沿垂直河岸方向， 這時(shí)渡河到達(dá)對(duì)岸的位移最小，S_min=d。而渡河時(shí)間t=d/V₂=d/Vsinθ。

[例題2]：河寬60m,小船在靜水中的速度為5m/s,水流速度為3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船實(shí)際渡河的時(shí)間為多大？

   分析及解答：如圖2 中的乙，當(dāng)小船沿平行河岸方向的分速度V₁=V_水，小船要垂直河岸方向渡河，這時(shí)渡河到達(dá)對(duì)岸的位移最小，Smin=d=60(m)。而V_船與河岸的夾角θ=arc cos(V_船/V_水)=53⁰。這時(shí)小船實(shí)際渡河的時(shí)間t=d/V₂=d/V_船sinθ=60/4=15(s).

問題三：小船如何渡河速度最小，最小速度為多少？

析及解答：將小船渡河運(yùn)動(dòng)看作水流的運(yùn)動(dòng)（水沖船的運(yùn)動(dòng)）和小船相對(duì)靜水的運(yùn)動(dòng)（設(shè)水流不流動(dòng)時(shí)船的運(yùn)動(dòng)）的合運(yùn)動(dòng)。如圖3中的甲，要使小船沿直線從A運(yùn)動(dòng)到B，小船在靜水中的最小速度為多少？根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和平行四邊形定則，當(dāng)小船的速度垂直于AB直線時(shí)，船速最小，最小船 速為V_船=V_水sinθ，船速與水速方向的夾角為90⁰+arc sin(V_船/V_水)。

    [例題3]：如圖3的乙，一條小船位于100m寬的河岸A點(diǎn)處，從這里向下游100√3米處有一危險(xiǎn)區(qū)，若水流速度為4m/s，為了使小船避開危險(xiǎn)區(qū)沿直線到達(dá)對(duì)岸，小船在靜水中的速度至少多大？

分析及解答：為了使小船避開危險(xiǎn)區(qū)沿直線AB到達(dá)對(duì)岸，則小船的合速度方向沿直線AB。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和平行四邊形定則，當(dāng)小船的速度垂直于AB直線時(shí)，船速最小，最小船 速為V_船=V_水sinθ。由幾何關(guān)系可知：tgθ=√3/3, θ=30⁰。∴V_船=4*sin30⁰=2(m/s). 而船速與水速方向的夾角為90⁰+arc sin(V_船/V_水)=120⁰。

方法解二：

運(yùn)動(dòng)的合成與分解專題中，有一個(gè)重要類型題“小船渡河”問題，這類題目主要研究“船怎樣行駛，渡河時(shí)間、渡河位移最短”。教學(xué)實(shí)踐中，我觀察到許多學(xué)生是死記硬背記住結(jié)論，有時(shí)還混淆，怎樣讓學(xué)生利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律理解渡河問題呢？我經(jīng)過多屆學(xué)生試驗(yàn)，摸索出一種淺顯易懂的講解方法。

例題：一條寬為d的河，水流速度為V₁，船在靜水中的速度為V₂，那么

（1）怎樣渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間為多少？ 

（2）若V₁＜ V₂，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？

（3）若V₁ ＞V₂，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？

（4）若V₁ = V₂，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？ 

一、渡河時(shí)間最短問題

講授之前，先復(fù)習(xí)合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，（等時(shí)性、獨(dú)立性、等效性、運(yùn)算法則為三角形定則），然后畫圖講解，小船的運(yùn)動(dòng)方向可能有三種情況，一是沿河岸上游開船，如軌跡1、2、3，可能向河正對(duì)岸開船如軌跡4，可能向河岸下游開船如軌跡5、6、7，由于渡河時(shí)間t=S_船/V_船= S_水/V_水= S_合/V_合，而船渡河的分位移容易求，所以利用t=S_船/V_船計(jì)算簡(jiǎn)單，從船運(yùn)動(dòng)的分位移圖中可知，當(dāng)船頭垂直正對(duì)岸開動(dòng)時(shí)，船的分位移最短，渡河時(shí)間最短。

二、渡河位移最短問題

首先分析渡河位移，是指船的實(shí)際位移，即合位移。合位移的方向大致有三種，沿河岸上游、垂直河對(duì)岸、沿河岸下游，如圖2，顯然合位移為河寬時(shí)，渡河位移最短，而合位移方向即是合速度方向，假設(shè)水速方向向右，由三角形定則可知，船速方向應(yīng)斜向上游某一角度θ，而且由幾何關(guān)系知，船速只有大于水速時(shí)，合速度才可能指向正對(duì)岸，最短位移才可能為河寬。此時(shí)cosθ= V_水/ V_船,從而求出θ。

當(dāng)水速大于船速時(shí)，由三角形定則可知，兩個(gè)分速度應(yīng)該首尾相接，合速度由第一個(gè)矢量的始端指向第二個(gè)矢量的末端，船速的可能方向如圖3，就像以水速末端為圓心，以船速為半徑畫的圓一樣，對(duì)應(yīng)的合速度方向如圖4，由合速度的方向即為合位移方向可知，合位移方向如圖4虛線，顯然從水速始端做圓的切線時(shí)，合位移為最短。此時(shí)船速與合速度垂直，船速方向仍應(yīng)斜向上游某一角度θ，cosθ=V_船 / V_水，可求出θ，由幾何關(guān)系可求最短位移S_min=d/ cosθ=d V_水/ V_船。

講到這里，學(xué)生感覺好象船速大于水速與船速小于水速，求解最短位移的分析方法不同，我們應(yīng)澄清這一錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。我們?cè)侔慈切味▌t，在水速的末端做出船速的可能方向，找出對(duì)應(yīng)的合速度、合位移方向，如圖5，由圖可知，當(dāng)船速方向斜向上游某一角度θ，可以使合速度方向恰好指向河正對(duì)岸，渡河位移最短。由此可見兩種情況下的分析方法是完全一致的。只是當(dāng)船速大于水速時(shí)，采用第一種方法略微簡(jiǎn)單而已。采用這種講解方法，還可以輕松回答最棘手的問題-----船速等于水速時(shí)最短的渡河位移。仍按三角形定則做圖6，由圖可知，船速方向與河岸上游的夾角越小，渡河位移就越短，最極限的狀態(tài)為船速方向剛好與水速方向相反，這時(shí)最短渡河位移為河寬。