例1：

(2011· 南通)

甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進(jìn)，A、B兩地間的路程為20km．他們前進(jìn)的路程為s（km），甲出發(fā)后的時(shí)間為t（h），甲、乙前進(jìn)的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（　　）

A．甲的速度是4km/h   B．乙的速度是10km/h

C．乙比甲晚出發(fā)1h     D．甲比乙晚到B地3h

筆者追問：甲出發(fā)幾小時(shí)后，兩人相距2km?

分析：

本題是一個(gè)常規(guī)的追及問題，兩人出發(fā)有先后．當(dāng)然，從圖像中，我們必須明白的第一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)問題中，若涉及的是出發(fā)時(shí)間與行駛路程的函數(shù)關(guān)系，通常直線的傾斜程度表示的是速度．

甲全程用4小時(shí)，速度可求．

乙全程用1小時(shí)，速度也可求．

至于甲比乙早出發(fā)，晚到的時(shí)間，都可在圖像上看出．

追加的問題：

兩人相距2km，在圖像上，應(yīng)該理解為，相同時(shí)刻，即橫坐標(biāo)相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的行駛路程之差，即縱坐標(biāo)之差為2，顯然分3種情況：

(1)乙未出發(fā)

(2)乙出發(fā)未追上甲

(3)乙出發(fā)后超過甲

解答：

v甲＝20÷4＝5km/h，A錯(cuò)

v乙＝20÷(2－1)＝20km/h，B錯(cuò)

乙比甲晚出發(fā)1h，C對(duì)，甲比乙晚到B地2h，D錯(cuò)

追問：如圖，分別求出y甲，y乙的解析式

設(shè)y甲＝k1x，把(4，20)代入得

   y甲＝5x

設(shè)y乙＝k2x＋b，把(1，0)(2，20)代入得

   y乙＝20x－20

(1) 乙未出發(fā)，

     5x＝2，x＝0.4

(2) 乙出發(fā)未追上甲，

     5x－(20x－20)＝2，x＝1.2

(3)乙出發(fā)后超過甲，

    (20x－20)－5x＝2，x＝1.4

答：甲出發(fā)0.4，1.2，1.4小時(shí)后，兩人相距2km．

小明騎自行車由甲地前往乙地，速度為10km/h，小強(qiáng)在小明出發(fā)3h后，騎摩托車沿相同的路線從甲地前往乙地，速度為40km/h，已知兩地間的路程是80km，請(qǐng)你分別列出兩人所行使的路程與所用的時(shí)間之間的函數(shù)表達(dá)式，并回答下列的問題：
（1）若小明出發(fā)的時(shí)間為xh，距離甲地的路程為ykm，畫出y與x之間的函數(shù)圖像．
（2）小強(qiáng)何時(shí)可以追上小明？

（3）小強(qiáng)出發(fā)幾小時(shí)后，兩人相距20km?

解答：

(1) y小強(qiáng)＝40x－120(3≤x≤5)

      y小明＝10x(0≤x≤8)

(2) 40x－120＝10x，

                   x＝4，

      4－3＝1，

     小強(qiáng)出發(fā)一小時(shí)后追上．

例2：

(2015·烏魯木齊)

一輛貨車和一輛小轎車同時(shí)從甲地出發(fā)，貨車勻速行駛至乙地，小轎車中途停車休整后提速行駛至乙地．貨車的路程y1(km)，小轎車的路程y2(km)與時(shí)間x(h)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示．

(1)甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？小轎車中途停留了多長(zhǎng)時(shí)間？

(2)①寫出y1與x的函數(shù)關(guān)系式；

     ②當(dāng)x≥5時(shí)，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)貨車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與小轎車首次相遇？相遇時(shí)與甲地的距離是多少？

分析：

(1)不難，根據(jù)縱坐標(biāo)的最大值，可知甲乙兩地的距離．根據(jù)函數(shù)值不變化時(shí)，橫坐標(biāo)的范圍，可知停留時(shí)間．

(2)y1與x是正比例函數(shù)關(guān)系，代入一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．y2稍難，表面看，只知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(6.5，420)，但橫坐標(biāo)為5.75時(shí)，兩函數(shù)圖像相交，求出貨車此時(shí)的路程，即是小轎車的路程，從而兩點(diǎn)確定，用待定系數(shù)法可求．

(3)由圖像可知，首次相遇時(shí)，小轎車停著，關(guān)鍵是求出小轎車行駛了多少路程后停止，并代入到y(tǒng)1中，可求相遇時(shí)的時(shí)間．

解答：

(1)由題圖可知，甲、乙兩地相距420 km，小轎車中途停留了2 h.

(2)①y1＝60x(0≤x≤7)；

     ②當(dāng)x＝5.75時(shí)，y1＝60×5.75＝345，

        當(dāng)x≥5時(shí)，設(shè)y2＝kx＋b

把(5.75，345)，(6.5，420)代入

解得y2＝100x－230

∴當(dāng)x≥5時(shí)，y2＝100x－230

(3)當(dāng)x＝5時(shí)，y2＝100×5－230＝270，

  即小轎車在3≤x≤5時(shí)停車休整，離甲地270 km.

     60x＝270，x＝4.5

答：貨車出發(fā)4.5 h首次與小轎車相遇，相遇時(shí)距離甲地270 km.

甲、乙兩輛汽車沿同一路線趕赴距出發(fā)地480km的目的地，乙車比甲車晚出發(fā)2h（從甲車出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)）．圖中折線OABC、線段DE分別表示甲、乙兩車所行路程y(km)與時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖象（線段AB表示甲車出發(fā)不足2h因故障停車檢修）．請(qǐng)根據(jù)圖象所提供的信息，解決以下問題：
（1）求乙車所行路程y與時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求兩車在途中第二次相遇時(shí)，它們距出發(fā)地的路程；
（3）乙車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，兩車在途中第一次相遇．（寫出解題過程）

分析：

（1）（2）不難，只分析（3），易知交點(diǎn)P表示第一次相遇，即甲車故障停車檢修時(shí)相遇，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示離出發(fā)地的距離，要求時(shí)間，則需要把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)先求出；而點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)B又在線段BC上，求出BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，問題迎刃而解．

解答：

(1)設(shè)乙車所行路程y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x＋b1，
把(2，0)和(10，480)代入，解得y＝60x－120

(2)當(dāng)x＝6時(shí)，y＝60×6－120＝240，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(6，240)，
∴兩車在途中第二次相遇時(shí)，它們距出發(fā)地的路程為240千米；

(3)設(shè)線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝k2x＋b2，
把(6，240)、(8，480)代入，

解得y＝120x－480

    當(dāng)x＝4.5時(shí)，y＝120×4.5－480＝60．
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為60，交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為60，
把y＝60代入y＝60x－120中，
解得x＝3，
∴交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，60)，
   3－2＝1

答：乙車出發(fā)1小時(shí)，兩車在途中第一次相遇．

例3：

(2013· 淮安)

甲、乙兩地之間有一條筆直的公路L，小明從甲地出發(fā)沿公路L步行前往乙地，同時(shí)小亮從乙地出發(fā)沿公路L騎自行車前往甲地，小亮到達(dá)甲地停留一段時(shí)間，原路原速返回，追上小明后兩人一起步行到乙地．設(shè)小明與甲地的距離為y1米，小亮與甲地的距離為y2米，小明與小亮之間的距離為s米，小明行走的時(shí)間為x分鐘．y1、y2與x之間的函數(shù)圖象如圖1，s與x之間的函數(shù)圖象（部分）如圖2．
（1）求小亮從乙地到甲地過程中y2(米)與x(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求小亮從甲地返回到與小明相遇的過程中s(米)與x(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在圖2中，補(bǔ)全整個(gè)過程中s(米)與x(分鐘)之間的函數(shù)圖象，并確定a的值．

分析：

本題基本屬于運(yùn)動(dòng)問題的終極版了，難度已經(jīng)很大，如果你能搞定，所有的一次函數(shù)運(yùn)動(dòng)問題都不在話下．

首先我們根據(jù)y與x的函數(shù)圖像，分析出，端點(diǎn)是原點(diǎn)的射線是小明步行的函數(shù)圖像，剩下的是小亮的函數(shù)圖像．

由圖像可知，甲乙兩地相距2000m，小明步行40分鐘，從甲地到乙地，可知小明的速度是50m/分，小亮騎車10分鐘，從乙地到甲地，可知小亮騎車速度為400m/分．

(1) 即求下圖中，最左側(cè)虛線部分的函數(shù)解析式．

10至24分鐘時(shí)，小亮休息，之后原速追及小明，可知下圖中點(diǎn)線部分的解析式的k，求出小明步行的函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組，可求小亮追上小明的時(shí)間．由于此時(shí)兩人都是從甲地往乙地，則兩人之間的距離s，可看作此時(shí)兩人距離甲地的路程之差！

(2) 即求下圖中，過原點(diǎn)的直線解析式與下方點(diǎn)線部分的函數(shù)解析式之差！需要注意自變量取值范圍，到小亮追上小明的時(shí)間截止．

(3)  圖2中的a，表示兩人第一次相遇的時(shí)間，那么，只需求出圖1中，虛線與過原點(diǎn)的直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．而之后補(bǔ)充函數(shù)圖像，我們要抓幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，10至24分鐘，小亮停在甲地，則此時(shí)的圖像應(yīng)與圖1中，10至24分鐘的圖像一樣，求出24分鐘時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，32分鐘時(shí)，小亮又追上小明，則(32，0)是第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，之后兩人一起步行，距離為0．32至40分鐘時(shí)，函數(shù)值始終為0．

解答：

（1）設(shè)小亮從乙地到甲地過程中，

y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝k2x＋b1，

把(0，2000)，(10，0)代入得，

y2＝－200x＋2000

（2）小亮的速度為：2000÷10＝200米/分，

設(shè)小亮從甲地出發(fā)追及小明時(shí)，

點(diǎn)線部分解析式為y2＝200x＋b2

把(24，0)代入得，y2＝200x－4800

設(shè)小明從甲地到乙地的過程中，

y1與x的函數(shù)關(guān)系式為y1＝k1x

把(40，2000)代入得

y1＝50x

200x－4800＝50x，x＝32

s＝50x－(200x－4800)＝－150x＋4800(24≤x≤32)

（3）－200x＋2000＝50x，x＝8，即a＝8

某物流公司的甲、乙兩輛貨車分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，并以各自的速度勻速行駛，途經(jīng)配貨站C，甲車先到達(dá)C地，并在C地用1小時(shí)配貨，然后按原速度開往B地，乙車從B地直達(dá)A地，下圖是甲、乙兩車間的距離y（千米）與乙車出發(fā)x（時(shí)）的函數(shù)的部分圖像．

(1)A、B兩地的距離是______千米，甲車出發(fā)_____小時(shí)到達(dá)C地；
(2)求乙車出發(fā)2小時(shí)后直至到達(dá)A地的過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍，并在圖中補(bǔ)全函數(shù)圖像；
(3)乙車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間，兩車相距150千米？

解答：

本題，以線段圖的形式，幫助大家分析整個(gè)過程．

(1) 由圖象可知，A、B兩地的距離是300千米，甲車出發(fā)1.5小時(shí)到達(dá)C地；

(2) 由圖象可知，v乙＝30÷(2－1.5)＝60km/h，(v甲＋v乙)×1.5＝300－30，
解得v甲＝120 km/h，

易知圖像中C(2，0)，D(2.5，0)，E(3.5，210)，F(xiàn)(5，300)

∴yCD＝60x－120(2≤x≤2.5)

   yDE＝180x－420(2.5＜x≤3.5)

   yEF＝60x(3.5＜x≤5)

小結(jié)：

應(yīng)該說，這六道題已經(jīng)將行程問題的基本情況都?xì)w納在內(nèi)．

知道以下幾點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：

1、只涉及一人(車)行駛的圖像，傾斜程度多為速度．

2、若兩人(車)的兩個(gè)圖像在同一張圖中，則交點(diǎn)處表示相遇(追上)，將兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程組可求相遇的時(shí)間．

若要求兩人何時(shí)相距多少，則兩解析式之差的絕對(duì)值即為多少．

3、對(duì)于以兩人(車)之間的距離為縱坐標(biāo)的題目，則需要注意，縱坐標(biāo)為0處，表示相遇(追上)．

都在行駛時(shí)，傾斜程度可能是兩人(車)的速度和或差，若只一人(車)在行駛，則傾斜程度可能是一人(車)的速度．

若要求兩人(車)之間的距離為多少時(shí)的時(shí)間，則只要讓解析式的值為這個(gè)距離即可求出．

附：第17講思考題答案

解：由題意得

A(－2，0)，B(0，2)

C(1，0)，   D(0，－4)

P(2，4)

過C作CE∥y軸交BP于E

E(1，3)