微積分其實(shí)很簡(jiǎn)單！

只有理解，才會(huì)應(yīng)用！

本專(zhuān)欄將和您一起，從最通俗易懂的角度，用最易于理解的方法，真正內(nèi)化吸收微積分的核心概念與算法，幫您輕松掌握與應(yīng)用！

精要復(fù)習(xí)

上節(jié)課我們講了導(dǎo)數(shù)與微分。

導(dǎo)數(shù)的“導(dǎo)”，可以理解為“方向”之意。

方向決定了函數(shù)的運(yùn)行，所以“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。

數(shù)學(xué)即哲學(xué)，世界是存在因果關(guān)系的，因果關(guān)系即為導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系。

導(dǎo)數(shù)的MATLAB求解，很簡(jiǎn)單：

最后介紹了導(dǎo)數(shù)的親兄弟——微分。

微分是增量的線性主部。

先思考一個(gè)問(wèn)題

計(jì)算器或計(jì)算機(jī)怎么計(jì)算“正弦函數(shù)”？

總不能查表吧？即使有表，那請(qǐng)問(wèn)表又是怎么得到的呢？

這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是，sin函數(shù)是人為定義的一個(gè)三角函數(shù)，它表面上并由“可直接計(jì)算”的函數(shù)組成，sin這個(gè)表示是一個(gè)堅(jiān)硬的外殼，那怎么辦？

泰勒展開(kāi)公式的誕生，完美解決了這個(gè)問(wèn)題，它把這一類(lèi)函數(shù)的堅(jiān)硬外殼徹底擊碎，讓所有看起來(lái)無(wú)從下手的函數(shù)，全都變成了——多項(xiàng)式。

泰勒展開(kāi)公式初探

先看看泰勒公式長(zhǎng)什么樣吧：

形式很多，這種容易記憶和理解

觀察公式形式我們發(fā)現(xiàn)：

• 一個(gè)函數(shù)，無(wú)論它是什么“殼”，都可以分解為多項(xiàng)式的形式；
• 分解有個(gè)基礎(chǔ)位置，就是x0的位置；
• 多項(xiàng)式有多少項(xiàng)呢？無(wú)窮多項(xiàng)，項(xiàng)越多，就越接近原函數(shù)；
• 每一項(xiàng)的作用，要被n!削弱，所以n越大，被削弱得就越厲害。

如果是第一次學(xué)，看不太懂很正常，先不急理解上面的結(jié)論，先看下面這個(gè)實(shí)際的例子吧——

泰勒展開(kāi)公式就是“多項(xiàng)式仿真”

還是上面的問(wèn)題，怎么把sin(x)化成一個(gè)多項(xiàng)式的形式？

咱們?cè)趚0=0的位置按泰勒展開(kāi)分解，可以自己動(dòng)筆算算，結(jié)果為：

計(jì)算機(jī)就是這樣計(jì)算正弦函數(shù)的

為什么沒(méi)有n=2 4 6這些項(xiàng)？動(dòng)筆的同學(xué)肯定知道，因?yàn)檫@些項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)為0，消去了。

硬殼已擊碎，下面咱們利用MATLAB畫(huà)畫(huà)，直觀感受一下。

先只取第一項(xiàng)，先比較一下 sin(x) 與 x：

發(fā)現(xiàn)其實(shí)在0點(diǎn)附近，兩個(gè)函數(shù)還是很像的，由其兩者在0點(diǎn)的斜率幾乎相同。

這也是為什么老師教我們，當(dāng)x很小時(shí)，sin(x)可以用x的值去代替。

繼續(xù)再加一項(xiàng)：

哎呀，重疊的區(qū)域更大了。其實(shí)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)越來(lái)越多，兩個(gè)函數(shù)就越來(lái)越像！

再加一項(xiàng)：

再加一項(xiàng)：

越多項(xiàng)，越像！

文章最后會(huì)附上MATLAB源碼，感興趣可以自己試一試。

所以說(shuō)，泰勒展開(kāi)公式，是對(duì)展開(kāi)點(diǎn)附近的函數(shù)，進(jìn)行的一個(gè)“多項(xiàng)式仿真”。

仿真，就一定有誤差，泰勒公式的仿真誤差怎么樣呢？

可控的多項(xiàng)式仿真誤差

泰勒公式有無(wú)窮多項(xiàng)，但我們不可能計(jì)算出無(wú)窮多項(xiàng)，所以泰勒公式的另一種表達(dá)：

我們把從n+1往后所有的項(xiàng)給打包了，稱為R，課本上叫它“佩亞諾型余項(xiàng)”，說(shuō)實(shí)話時(shí)間一長(zhǎng)我也記不住這個(gè)外國(guó)名，所以我一直習(xí)慣叫它“誤差項(xiàng)”，還易于理解含義。

意思就是說(shuō)，如果我只計(jì)算到n階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，那么誤差就是Rn了。

更絕的是，這個(gè)Rn被證明是x^n的高階無(wú)窮小，關(guān)于高階無(wú)窮小的概念我們以后會(huì)講，這里理解為Rn起到的作用，一定比前面那些項(xiàng)的作用小，即可。

所以，我們要仿真一個(gè)“帶硬殼”的函數(shù)，只要使用泰勒展開(kāi)取有限幾項(xiàng)，并保證誤差在可接受的范圍內(nèi)，不就行了么？

所以說(shuō)，泰勒展開(kāi)公式是一個(gè)誤差可控的多項(xiàng)式仿真。

直觀理解泰勒展開(kāi)

首先，我們先嘗試?yán)斫庾罨镜?項(xiàng)多項(xiàng)式：

幾何表達(dá)：

即，x 處的函數(shù)值，約等于 x0 處的函數(shù)值，再加上由導(dǎo)數(shù)引起的變化量。

上節(jié)課我們理解了，導(dǎo)數(shù)即原因，所以我們可以這樣理解上式：

對(duì)未來(lái)的仿真計(jì)算

結(jié)果=現(xiàn)狀+原因x時(shí)間。

由于原因（導(dǎo)數(shù)）是當(dāng)前的原因，所以仿真預(yù)測(cè)的結(jié)果肯定不完全準(zhǔn)確，不過(guò)，只要時(shí)間足夠短，仿真結(jié)果就足夠準(zhǔn)確啦。

這也印象了我們上節(jié)的理解，“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。

直觀理解多項(xiàng)泰勒展開(kāi)

還不止如此哦，泰勒展開(kāi)還有好多項(xiàng)呢！