作者：“逃學(xué)博士”

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01 開(kāi)場(chǎng)白

作為我的大學(xué)《微積分》的第一講，我思前想后要以什么知識(shí)點(diǎn)作為內(nèi)容。索性找到一本大學(xué)的的教材，從第一章開(kāi)始講。這樣也方便本科生參照學(xué)習(xí)。

我選的教材是《大學(xué)數(shù)學(xué)教程》，作者姜東平和江惠坤。

02 數(shù)列

高等數(shù)學(xué)接觸的第一個(gè)概念是數(shù)列。

顧名思義，數(shù)列就是有共同特征（通項(xiàng)）的一列數(shù)。

如果我們假設(shè)一數(shù)列的通項(xiàng)為：

那么，我們將 n從1~150的點(diǎn)全部動(dòng)態(tài)繪制出來(lái)，可以總結(jié)出哪些知識(shí)點(diǎn)呢？

從圖1中，我們發(fā)現(xiàn)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡中后一個(gè)點(diǎn)值都比前一個(gè)要大。這就引發(fā)了數(shù)列單調(diào)性的定義。

2 - 1 數(shù)列的單調(diào)性

圖1中繪制的數(shù)列既是一個(gè)遞增數(shù)列，如果結(jié)合通項(xiàng)去定義遞增數(shù)列，如下：

• 遞增數(shù)列：第 n - 1 項(xiàng)的值 < 第n項(xiàng)的值。

• 不減數(shù)列：第 n - 1 項(xiàng)的值 <= 第n項(xiàng)的值。

如果我們將圖1中的數(shù)列通項(xiàng)乘以 -1，如下所示：

數(shù)列的動(dòng)態(tài)圖如圖2所示：

• 遞減數(shù)列：第 n - 1 項(xiàng)的值 > 第n項(xiàng)的值。

• 不增數(shù)列：第 n - 1 項(xiàng)的值 >= 第n項(xiàng)的值。

同時(shí)，遞增、遞減、不增、不減數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列。

圖1中，隨著 n 的增大，數(shù)列中的值不斷逼近 2。

圖2中，隨著 n 的增大，數(shù)列中的值不斷逼近 -2。

那么，我們回過(guò)頭來(lái)看圖1，可以將 x軸 和 y = 2 這兩條線規(guī)定了數(shù)列中任何一點(diǎn)的最大活動(dòng)范圍。圖1中的數(shù)列是遞增數(shù)列，且遞增的極限是無(wú)限逼近 2。介于此，可以引出第二個(gè)的定義：有界數(shù)列。

2既是圖1中數(shù)列的上界；

-2 既是圖2中數(shù)列的下界。

2 - 2 數(shù)列的極限

• 誤區(qū)1：有界數(shù)列一定收斂有極限

誤區(qū)1是初學(xué)高等數(shù)學(xué)最容易搞混的知識(shí)點(diǎn)。我們找一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：

對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)圖如下：

如圖3所示，數(shù)列隨著 n的增大，一直在 -1 和 1之間震蕩。基于有界數(shù)列的定義，該數(shù)列是同時(shí)擁有 上界（1）和下界（-1）的數(shù)列。

但是，隨著 n的增大，數(shù)列卻無(wú)法收斂于 單一的值，那么自然也就不存在收斂和極限了。圖3所示的數(shù)列為 發(fā)散數(shù)列。

但是反過(guò)來(lái)說(shuō)，收斂數(shù)列一定有界卻是正確的表達(dá)，這個(gè)很容易理解，不加贅述。

總結(jié)

一直在猶豫是做成科普文（詼諧幽默點(diǎn)）還是比較正規(guī)的碼字。希望讀者朋友們給點(diǎn)建議。

數(shù)列的討論是為了之后將數(shù)列收斂推廣到函數(shù)收斂。我們第一次接觸數(shù)列應(yīng)該是在高中，此次的知識(shí)點(diǎn)回顧是希望打下一個(gè)結(jié)實(shí)的基礎(chǔ)。

我們下一節(jié)再見(jiàn)，更多好玩的動(dòng)圖演示即將推出。