平面幾何中的定值問題，是指當點或線按照某種條件運動時，圖形發(fā)生位置、形狀或大小的變化，圖中的某些幾何元素的幾何量卻保持不變的情況.

證明定值問題常用如下兩種方法：

⑴特殊情形探求法.

從所研究對象的特殊情況或特殊位置尋求出定值，然后證明一般情況或一般位置下等于這個定值.

⑵直接計算法.

根據(jù)題設(shè)及相關(guān)的定理，計算出所需要研究量只與不變量有關(guān).

下面具體舉例說明.

【典例1】

已知：如下圖，AB、DC與圓O分別切于A、D，且AB∥DC，E為圓O上任意一點，過E作圓O的切線分別與AB、DC交于點B、C兩點.求證：AB·DC是定值.

思路歷程：其實本題難度并不大，我們不重結(jié)果只是學(xué)習(xí)方法.若AB·DC是定值，我們可以先分析這個定值是多少？由此出發(fā)，可以取點E為特殊點，如BC⊥AB，連接OA、OE，則四邊形ABEO為正方形，如下圖1，則AB=OE，同理DC=OE，則AB·DC的定值就是OE^2.這就為我們提供了努力的方向：盡量使線段AB、DC與半徑OE之間建立聯(lián)系.

證明思路：連接OB、OC、OE，如上圖2所示.

∵ AB∥DC，∴∠CBA+∠BCD=180o. ∵ BA、BE是圓O的切線，∴ AB=BE，∠CBO=1/2∠CBA.

同理，CD=CE，∠BCO=1/2∠BCD. 則∠CBO+∠BCO=90o，∴ ∠BOC=90o.

∵ BC是圓O的切線，∴ OE⊥BC. 可得△BOE∽△OCE，∴ OE:CE=BE:OE，

∴ OE^2=BE·CE=AB·DC. ∵ OE是圓O的半徑，∴ AB·DC是定值.

【典例2】

已知：如下圖，圓O和圓M相交于D、E兩點，過點D任作兩條直線AA＇與BB＇交圓O于點A、B，交圓M于點A＇、B＇，BA與A＇B＇相交于點C.求證：∠C為定值.

思路歷程：探求定值，如下圖1所示，取特殊圖形讓AA＇與BB＇重合，而且與OM平行，A（B）C、A＇（B＇）C分別為兩圓的切線，則∠C=180o-∠AEA＇=∠EAD+∠EA＇D=1/2（∠EOD+∠EMD）（定值）.

證明：連接DE、AE、A＇E，如上圖2.∠C=180o-（∠CB＇B+∠B）=180o-（∠DEA＇+∠AED）=∠DAE+∠DA＇E，∵∠DAE、∠DA＇E為定值，∴ ∠C為定值.

反思：首先選取特殊圖形，探求出∠C等于公共弦所對兩圓的圓周角的和.本題運用三角形、圓內(nèi)接四邊形的外角定理、三角形的內(nèi)角和定理，得出∠C等于兩個定角之和.

【典例3】

已知：如下圖所示，圓O和圓M內(nèi)切與點P，圓O的切線BE經(jīng)過圓M的圓心，切點為C，PC的延長線交圓M于點A，圓O與圓M的半徑分別為r、R（其中R≥2r）.求證：PC·AC是定值.

思路歷程：如下圖所示，連接PE、BA，易證△PCE∽△BCA，由此可得PC·AC=EC·BC，∵EC·BC=（R-CM）·（R+CM）.由于R為圓M的半徑，因此只要說明CM是定值，即可證得PC·AC的積就是定值.連接OC、PM，則PM經(jīng)過點O，由題意易得△OCM是直角三角形，OM=PM-OP=R-r.在Rt△OCM中，CM=√OM^2-OC^2=√(R-r)^2-r^2=√R^2-2Rr. ∴ PC·AC=EC·BC=（R-√R^2-2Rr）·（R+√R^2-2Rr）=2Rr. ∴ PC·AC是定值.