精要復(fù)習(xí)前兩課我們首先講了導(dǎo)數(shù)/微分： 導(dǎo)數(shù)的“導(dǎo)”，理解為“方向”。 方向決定了函數(shù)的運(yùn)行，所以“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。 進(jìn)一步，借助泰勒展開公式加深了對(duì)導(dǎo)數(shù)“原因”作用的認(rèn)識(shí)。 泰勒展開公式，是對(duì)展開點(diǎn)附近的函數(shù)，進(jìn)行的一個(gè)“誤差可控多項(xiàng)式仿真”。  導(dǎo)數(shù)（原因），把結(jié)果和現(xiàn)狀聯(lián)系在了一起 不定積分函數(shù) F(x) 的導(dǎo)函數(shù)為 F''(x)，如果定義 F''(x)=f(x)，則： f(x) 是 F(x) 的導(dǎo)函數(shù)； F(x) 是 f(x) 的原函數(shù)。 這里注意，F(x) +C 的導(dǎo)數(shù)也是 f(x)，所以 f(x) 有一族原函數(shù)—— F(x) +C （C在數(shù)學(xué)里表示常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0） 表示為：  等號(hào)左邊那堆，叫做 f(x) 的“不定積分”。 為啥“不定”呢？ 主要是為了相對(duì)于下面要講的“定積分”，而且不定積分有“一族”而不是“一個(gè)”（下面會(huì)講）。 重要的微積分維度意義思考一個(gè)問題，為什么從原函數(shù) F 到 導(dǎo)函數(shù) f ，沒有常數(shù)C的出現(xiàn)；而從導(dǎo)函數(shù) f 到原函數(shù) F 就突然多出來一個(gè) 常數(shù) C 呢？ 因?yàn)椋?strong>原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)不在一個(gè)維度上！ 維度不同，角度完全不同！ 原函數(shù)比導(dǎo)函數(shù)低一個(gè)維度！ 為什么這么說？ 舉個(gè)例子，一個(gè)燈下的三維物體，比如如一個(gè)橄欖球，向墻面上的投影可能是一個(gè)橢圓，但是換一個(gè)角度再去投影，影子完全可能是另一個(gè)大小/形狀，有可能變成一個(gè)圓形！ 即，三維物體有無窮多個(gè)二維的投影。 正如，導(dǎo)函數(shù)有無窮多個(gè)原函數(shù)！ 低維的原函數(shù) 是 高維的導(dǎo)函數(shù) 的投影。 投影，將三維信息降為了二維信息 常數(shù) C ，就是代表燈與物所成的一系列角度罷了。 原因在高維 結(jié)果在低維原因（導(dǎo)函數(shù)）在高維，比如小車的速度 v，這是本身一個(gè)高維的信息，因?yàn)樗?/p>
第三條詳細(xì)解釋一下，這個(gè)原理叫： 高維低階 舉個(gè)例子，位移 s=x^2 +x+1，則速度v=2x+1。 發(fā)現(xiàn)什么了？v比s的階低，v是1次多項(xiàng)式，s是2次多項(xiàng)式。 高維下的表達(dá)，往往就比低維下簡單！ 二維到三維，是工程制圖的升維飛躍 學(xué)過工程制圖的同學(xué)深有體會(huì)，一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果畫在平面圖中，需要有：正視圖/左視圖/上視圖/甚至斜視圖/剖面圖等等，特別復(fù)雜，但如果在三維作圖軟件中作三維模型，一個(gè)模型就足夠了。 就是這個(gè)道理。 物理學(xué)發(fā)展史中，這樣的故事層出不窮。最開始探索的物理學(xué)家的理解比較淺也比較局限，提出的理念往往很復(fù)雜，后來的物理學(xué)家在他們基礎(chǔ)上，統(tǒng)一整合了一類理論，提出新的理論反而是形式簡潔美妙，這就是升維思維的奇功。 簡潔的物理公式，其實(shí)是最高級(jí)的 MATLAB求不定積分不定積分，在數(shù)學(xué)上最大的意義就是求原函數(shù)，手算方法很多： 換元積分法 分部積分法 等 教材上都一樣，咱們直接用MATLAB解決問題： F=int(fun,x) % 求函數(shù)fun關(guān)于x的不定積分 SO EASY! 定積分提問，如何求一個(gè)曲線 f(x) 下包圍的面積？ 我們采用分割法，把曲線下分割成許多小矩形，如圖：  當(dāng)分割得越來越小，面積就越來越接近真實(shí)值。 然后把它們加起來，這就是“定積分”。  這就是定積分在書本上的定義，從中也能看出，積分其實(shí)就是求和，你看積分號(hào)長得就像一個(gè)拉長的 S 啊，S就是 sum 唄！ 定積分的真正內(nèi)含定積分到底在算啥？ |
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