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“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積、空間點、線、面位置關(guān)系(特別是平行與垂直)． 考查一個小題時，本小題一般會出現(xiàn)在第6～7題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第9～11題的位置上，本小題雖然難度稍高，但主要體現(xiàn)在計算量上，實質(zhì)仍是對基礎(chǔ)知識、基本公式的考查． 解答題多出現(xiàn)在第18或19題的位置，其基本模式是“一證明二計算”，即T3第(1)問考查空間平行或垂直關(guān)系的證明，第(2)問考查利用空間向量求異面直線所成的角、線面角或二面角，難度中等偏上． 1．(必修2 P78復(fù)習(xí)參考題A組T7改編)正四棱錐的三視圖如圖所示，則它的外接球的表面積為( )
A．25π B．π C.π D．π C [解析] 由三視圖畫出直觀圖與其外接球示意圖，且設(shè)O1是底面中心．
由三視圖知，O1A＝，O1P＝，所以正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在線段O1P上． 設(shè)球O的半徑為R. 由O1O2＋O1A2＝OA2得(－R)2＋()2＝R2. 所以R＝ . 則外接球的表面積為S＝4πR2＝4π·＝π.
A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱臺 D [解析] 因為EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH?平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又因為平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，且EH＝FG，由長方體的特征知四邊形EFGH為矩形，此幾何體為五棱柱，所以選項A，B，C都正確．故選D． 3. A．(4，6) B．(6，10) C．(8，12) D．(10，12) C [解析] 因為四邊形EFGH為平行四邊形， 所以EF∥HG， 因為HG?平面ABD， 所以EF∥平面ABD． 因為EF?平面ABC， 平面ABD∩平面ABC＝AB， 所以EF∥AB． 同理EH∥CD， 設(shè)EF＝x(0<x<4)，＝＝， 則＝＝＝1－. 從而FG＝6－x. 所以四邊形EFGH的周長l＝2(x＋6－x)＝12－x， 又0<x<4，則有8<l<12. 即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12)． 4．(選修2-1 P118復(fù)習(xí)參考題A組T12改編)在平面四邊形ACBD(圖①)中，△ABC與△ABD均為直角三角形且有公共斜邊AB，設(shè)AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，將△ABC沿AB折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C′-ABD，且使C′D＝.
(1)求證：平面ABC′⊥平面DAB； (2)求二面角A-C′D-B的余弦值． [解] (1)證明：取AB的中點O，連接C′O，DO. 在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2， 則C′O＝DO＝1， 因為C′D＝， 所以C′O2＋DO2＝C′D2， 即C′O⊥OD． 又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD?平面ABD， 所以C′O⊥平面ABD． 因為C′O?平面ABC′， 所以平面ABC′⊥平面DAB． (2)以O為原點，AB，OC′所在的直線分別為y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，D， 所以＝(0，1，1)，＝(0，－1，1)，＝.
設(shè)平面AC′D的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則 ，即，即， 令z1＝1，則y1＝－1，x1＝， 所以n1＝(，－1，1)． 設(shè)平面BC′D的法向量為n2＝(x2，y2，z2)， 則，即， 即， 令z2＝1，則y2＝1，x2＝， 所以n2＝， 所以cos〈n1，n2〉＝ ＝＝， 結(jié)合圖形知，二面角A-C′D-B的余弦值為－.
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