抽象的美與對稱性緊密相關(guān)，而物理的普適是與不變性分不開的。對稱性和不變性的刻畫離不了群的概念，從而群論成為數(shù)學(xué)和物理的重要工具。然而現(xiàn)代物理告訴我們，世界是量子化的。因此經(jīng)典的群概念只是量子對稱性和不變性一個很好的逼近。怎樣刻畫量子世界的對稱性和不變性及其更豐富多彩的現(xiàn)象成為一個重要而有趣的問題。近年來各種各樣的量子群也涌現(xiàn)出來。量子群的一個應(yīng)用出現(xiàn)在拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)和拓?fù)淞孔佑嬎愕难芯恐?。我們知道在拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)分類時，僅僅使用Landau的對稱群破缺是不夠的。模范疇 (modular tensor category) 和有限群在模范疇上的作用扮演著重要角色^[1]。模范疇在物理里也被稱為任意子模型 (anyon model) 。

2018年5月，《中國科學(xué)》雜志社在遵義成功舉辦了物質(zhì)的拓?fù)鋺B(tài)論壇，我應(yīng)邀作了報告。在報告中，我講到把模范疇當(dāng)作阿貝爾有限群的量子推廣的想法。這個類比已經(jīng)催生了幾個好定理，包括有限群論中Cauchy和 Landau定理的量子版本^[2]。《中國科學(xué)：數(shù)學(xué)》英文版2019年第3期剛剛發(fā)表了我們的最新研究論文'On generalized symmetries and structure of modular categories' [3], 崔星山，Modjtaba Shokrian Zini和我進(jìn)一步系統(tǒng)地發(fā)展了這個思路。

量子群從Drinfeld 1986年國際數(shù)學(xué)家大會報告興起。他把量子群定義為Hopf代數(shù)所對應(yīng)的“李群”。但現(xiàn)在數(shù)學(xué)家提到量子群基本上是指某種Hopf代數(shù)。我個人喜歡把Hopf代數(shù)的表示范疇當(dāng)作量子群，這其實更接近Drinfeld的原意。按我的想法，融合范疇 (fusion category) 是量子有限群，而模范疇是量子阿貝爾有限群。至少在這里，我將使用這兩個名詞。

有限單群的分類是數(shù)學(xué)史上的一個里程碑，那按我的類比，我們應(yīng)該做量子有限單群的分類。目前并沒有量子有限單群的定義。在我們的文章里，我們給了量子阿貝爾有限單群的一個定義。基于這個定義，我們給出了量子阿貝爾有限群結(jié)構(gòu)的一個可能框架。

我們的量子阿貝爾有限單群的定義源于對拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)對稱性的研究。拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)是包括拓?fù)浣^緣體和量子霍爾效應(yīng)電子液體的新的量子物質(zhì)形態(tài)。這是近年來物理中的一個重要發(fā)展方向。一個直接應(yīng)用是作為拓?fù)淞孔佑嬎銠C(jī)的硬件（見下圖）。經(jīng)典晶體的分類是它們對稱群的分類，拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)本質(zhì)上屬于一種量子動態(tài)晶體（見下圖），所以不難相信拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)的分類根本上是這種動態(tài)量子對稱群的分類。

 （物理，2013年，第42卷，第8期，558—566）

在二維空間拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)系統(tǒng)里，模范疇可以看成量子動態(tài)對稱群的一個數(shù)學(xué)模型。因此模范疇的分類基本就是二維內(nèi)蘊（有長程糾纏）拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)的分類。近來物理學(xué)家又發(fā)現(xiàn)，有限群可以作用到內(nèi)蘊拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)上成為它們的對稱性，從而引起很多可以觀察到的新現(xiàn)象：比如電荷分?jǐn)?shù)化，拓?fù)淙毕莺桶颜w對稱規(guī)范化成局部對稱。這套理論基礎(chǔ)是我和微軟的同事發(fā)展的^[1]。我們的另一個目標(biāo)是要把這套理論推廣到量子群在拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)的作用上。

我們用到的中心概念是已知的Linear Hopf Monad。我們把它作為模范疇上的對稱，從而同時推廣了有限群和范疇Hopf代數(shù)對稱。除了和量子對稱性的密切聯(lián)系外，我們的另一個目的是想通過Linear Hopf Monad來構(gòu)造一些在算子代數(shù)中猜想會出現(xiàn)的奇異模范疇，比如著名的Doubled Haagerup.

我們的文章僅僅是個開始，幾乎所有重要的想法還都是猜想。人類現(xiàn)在對量子世界的感知幾乎為零，描述量子對稱性的數(shù)學(xué)才剛剛起步。

[1] Barkeshli M, Bonderson P, Cheng M and Wang Z. Symmetry, defects, and gauging of topological phases. ArXiv: 1410.4540, 2014.

[2] Bruillard P, Ng S H, Rowell E and Wang Z. Rank-finiteness formodular categories. J Amer Math Soc, 2016, 29(3): 857--881.

[3] Cui S X, Zini M S, Wang Z. On generalized symmetries and structure of modular categories. Sci China Math, 2019, 62: 417—446.