一、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

1、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用

① 公理1：

公理1

② 公理2：

公理2

③ 公理3：

2、平行公理主要用來(lái)證明空間中的線(xiàn)線(xiàn)平行 .

3、公理 2 三推論：

① 一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面；

② 兩條平行直線(xiàn)唯一確定一個(gè)平面；

③ 兩條相交直線(xiàn)唯一確定一個(gè)平面 .

4、點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)、點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題

① 證明空間點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，

再根據(jù)公理 3 證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上 .

② 證明空間三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，先證兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，

再證明第三條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線(xiàn)上 .

③ 證明點(diǎn)線(xiàn)共面問(wèn)題的常用方法 ：

方法一：

先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)在此平面內(nèi)；

方法二：

先證明有關(guān)的點(diǎn)、線(xiàn)確定平面 α ，

再證明其余元素確定平面 β，

最后證明平面 α，β 重合 .

【例題1】如圖所示，四邊形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD = ∠FAB = 90°，

BC ∥且= ? AD，BE ∥且= ? FA，G , H 分別為 FA , FD 的中點(diǎn) .

(1) 證明：四邊形 BCHG 是平行四邊形；

(2) C , D , F , E 四點(diǎn)是否共面？請(qǐng)說(shuō)明理由 .

例題1圖

【解析】

(1) 證明：

∵ G , H 分別為 FA , FD 的中點(diǎn)，

∴ GH 是 △FAD 的中位線(xiàn)，

∴ GH ∥且= ? AD ，

又 ∵ BC ∥且= ? AD，

∴ GH ∥且 = BC，

∴ 四邊形 BCHG 是平行四邊形 .

(2) 證明：

方法一：

證明點(diǎn) D 在 EF 和 CH 確定的平面內(nèi) .

∵ BE ∥且= ? FA，點(diǎn) G 為 FA 的中點(diǎn)，

∴ BE ∥且= FG，則四邊形 BEFG 為平行四邊形，

∴ EF∥BG .

由 (1) 可知 BG∥CH，

∴ EF∥CH，即 EF 與 CH 共面，

又 ∵ D∈FH，

∴ C , D , F , E 四點(diǎn)共面 .

方法二：

分別延長(zhǎng) FE 和 DC，交 AB 于點(diǎn) M 和 M''，

在證點(diǎn) M 和 M’重合，從而 FE 和 DC 相交 .

如上圖所示，分別延長(zhǎng) FE 和 DC，交 AB 于點(diǎn) M 和 M''，

∵ BE ∥且= ? FA，

∴ 點(diǎn) B 為 MA 的中點(diǎn)，

∵ BC ∥且= ? AD，

∴ 點(diǎn) B 為 M''A 的中點(diǎn)，

∴ M 與 M'' 重合，即 FE 與 DC 相交于點(diǎn) M (M'') ,

∴ C , D , F , E 四點(diǎn)共面 .

二、異面直線(xiàn)的判定（方法）

1、定義法（不易操作）；

2、反證法

先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn)，即兩直線(xiàn)平行或相交；

再由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的推理，導(dǎo)出矛盾，

從而否定假設(shè)肯定兩條直線(xiàn)異面 .

假設(shè)法在異面直線(xiàn)的判定中會(huì)經(jīng)常用到 .

3、常用結(jié)論

過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn) (A) 的直線(xiàn)是異面直線(xiàn) .

【例題2】如圖所示，正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，點(diǎn) M , N 分別是 A1B1 , B1C1 的中點(diǎn) .

(1) AM 和 CN 是否是異面直線(xiàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2) D1B 和 CC1 是否是異面直線(xiàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由 .

例題2圖

【解析】（注：先給結(jié)論，再給理由，注意答題規(guī)范！）

(1) AM 和 CN 不是異面直線(xiàn) .

理由：

如圖上圖所示，分別連接 MN , A1C1 和 AC，

∵ 點(diǎn) M , N 分別是 A1B1 , B1C1 的中點(diǎn)，

∴ MN∥A1C1 ,

又 ∵ AA1∥且=CC1 ,

∴ 四邊形 AA1C1C 是平行四邊形，

∴ A1C1∥AC，

∴ MN∥AC，

∴ 點(diǎn) A , M , N , C 在同一平面內(nèi)，

故 AM 和 CN 不是異面直線(xiàn) .

(2) D1B 和 CC1 是異面直線(xiàn) .

證明：

∵ ABCD-A1B1C1D1 是正方體，

∴ B , C , C1 , D1 四點(diǎn)不共面 .

假設(shè) D1B 和 CC1 不是異面直線(xiàn)，

則存在平面 α，使 D1B?平面α，CC1?平面α，

∴ D1 , B , C , C1 ∈平面α，

∴ 與ABCD-A1B1C1D1 是正方體矛盾，

∴ 假設(shè)不成立，

∴ D1B 和 CC1 是異面直線(xiàn) .

三、異面直線(xiàn)所成的角

1、求異面直線(xiàn)所成角的方法

關(guān)鍵是將其中一條直線(xiàn)平移到某個(gè)位置使其與令一條直線(xiàn)相交，

或?qū)蓷l直線(xiàn)同時(shí)平移到某個(gè)位置，使其相交 .

2、求異面直線(xiàn)所成角的步驟

① 通過(guò)作出平行線(xiàn)，得到相交直線(xiàn)；

② 證明相交直線(xiàn)所成的角為異面直線(xiàn)所成的角；

③ 通過(guò)解三角形求出該角的大小 .

【例題3】如圖所示，在空間四邊形 ABCD 中，

已知 AB = CD 且 AB 與 CD 所成的角為 30°，點(diǎn) E , F 分別是 BC 和 AD 的中點(diǎn)，

求 EF 與 AB 所成角的大小 .

例題3圖

【解析】

要求 EF 與 AB 所成的角，可以經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)作兩條直線(xiàn)的平行線(xiàn)，因?yàn)?E，F(xiàn) 都是中點(diǎn)，

所以可以過(guò)點(diǎn) E 或點(diǎn) F 作 AB 的平行線(xiàn)找到異面直線(xiàn)所成的角 .

取 AC 的中點(diǎn)，平移 AB 和 CD，

使已知角和所求的角在同一個(gè)三角形中求解 .

【解答過(guò)程】

取 AC 的中點(diǎn) G，分別連接 EG 和 FG ，

則有 EG∥AB，F(xiàn)G∥CD，

∵ AB = CD ,

∴ EG = FG ,

∴ ∠GEF （或它的補(bǔ)角）為 EF 與 AB 所成的角，

∠EGF （或它的補(bǔ)角）為 AB 與 CD 所成的角，

又 ∵ AB 與 CD 所成的角為 30°，

∴ ∠EGF = 150° 或 30°，

由 EG = FG , 可知 △GEF 為等腰三角形，

當(dāng) ∠EGF = 30° 時(shí)，∠GEF = 75°，

當(dāng) ∠EGF = 150° 時(shí)，∠GEF = 15°，

∴ EF 與 AB 所成的角為 15° 或 75° .