二次函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，通常考查的有兩類

①已知三個(gè)或三個(gè)以上非特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，確定過三點(diǎn)的拋物線的解析式，或判定幾個(gè)點(diǎn)是否在同一拋物線上。

②判別已知幾對(duì)數(shù)據(jù)是否構(gòu)成二次函數(shù)關(guān)系。

真題求解

例1:已知函數(shù)的圖像位過(3，4)和點(diǎn)(4，3)，請(qǐng)寫出滿足這個(gè)條件的兩個(gè)不同的解析式。

解析及步驟

由已知點(diǎn)寫出函數(shù)解析式，實(shí)質(zhì)上是根據(jù)不完整的圖像寫出函數(shù)的解析式。解題的關(guān)鍵是想象出滿足條件解析式的完整的圖像。

⑴ 經(jīng)過已知兩點(diǎn)的函數(shù)的圖像是直線，利用待定系數(shù)法易得該函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式為y=-x+7.

⑵ 可以想象經(jīng)過這兩點(diǎn)的函數(shù)的圖像是拋物線，同樣采用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的解析式

設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax*2+bx+c(a≠0).依題意，有

4=3*2a+36+c，3=4*2a+4b+c

解得 b=-7a-1，c=12a+7.

因此，只要a、b、c同時(shí)滿足上述兩個(gè)關(guān)系式即可保證二次函數(shù)y=ax*2+bx+c圖像過點(diǎn)(3，4)和點(diǎn)(4，3)顯然，這樣的二次函數(shù)有無個(gè)，例如，取a=1，則b=-8和c=19，相應(yīng)圖像所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=x*2-8x+19。

例2:已知四點(diǎn)A(1，2)，B(3，0)，C(-2，20)，D(-1，12)，試問是否存在一個(gè)二次函數(shù)，使它的圖象同時(shí)經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)，如果存在，請(qǐng)求出它的解析式，如果不存在，請(qǐng)說明理由。

解析及步驟

解:設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，B(3，0)，D(-1，12)三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax*2+bx+c，依題意，有a+b+c=2，9a+3b+c=0，a-b+c=12.

解得a=1，b=-5，c=6

∴拋物線的解析式為y=x*2-5x+6.

把點(diǎn)C(-2，20)代入上式，得y=(-2)*2-5×(-2)+6

=20.

∴點(diǎn)C也在上述拋物線上，故存在一條，使A、B、C、D四點(diǎn)都在這條拋物線上。

解題小結(jié)

結(jié)合上述例題解答步驟，我們通常運(yùn)用以下方法:

⑴待定系數(shù):先設(shè)出函數(shù)解析式(代數(shù)式)，再根據(jù)條件確定解析式(代數(shù)式)中未知的系數(shù)，從而具體寫出這個(gè)式子的方法，其解題步驟簡(jiǎn)記為：

①設(shè)‘函數(shù)解析式)；②代(條件數(shù)值或圖像上點(diǎn)的坐標(biāo))；③解‘系數(shù)方程組)；④返(把確定系數(shù)值代回題設(shè)解析式).

⑵利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式時(shí)，一般可設(shè)以下幾種形式的函數(shù)關(guān)系式：

①項(xiàng)點(diǎn)未知，可設(shè)一般式(三點(diǎn)式)y=ax*2+bx+c(a≠0)。

②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)(h，k)，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)*2+k(a≠0)；

③已加拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)雙根式y(tǒng)=a(ⅹ-x1)(x-x2)(a≠0)；

④項(xiàng)點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)為y=ax*2(a≠0)；

⑤頂點(diǎn)在y軸上或?qū)ΨQ軸是y軸時(shí)，可設(shè)為y=ax*2+c(a≠0）；

⑥頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)為y=a(x-h)*2(a≠0)；

⑦拋物線過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)為y=ax*2+bx(a≠0）.

⑶ 已知最值條件或最值，可利用最值公式建立等量關(guān)系式，可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)*2+k；

⑷已加縱截距(由圖像與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)或過點(diǎn)(0，c)，可把已知c的值直接代入一般式中的c.

⑸情景型應(yīng)用題一般地均設(shè)特殊解析式。

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