圖解法

圖形是數(shù)學(xué)研究的對象，也是數(shù)學(xué)思維和表達(dá)的工具。

在解答應(yīng)用題時，如果用圖形把題意表達(dá)出來，題中的數(shù)量關(guān)系就會具體而形象。圖形可起到啟發(fā)思維、支持思維、喚起記憶的作用，有利于盡快找到解題思路。有時，作出了圖形，答案便在圖形中。

（一）示意圖

示意圖是為了說明事物的原理或具體輪廓而繪成的略圖。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的示意圖簡單、直觀、形象，使人容易理解圖中的數(shù)量關(guān)系。

例1：

媽媽給兄弟二人每人10個蘋果，哥哥吃了8個，弟弟吃了5個。誰剩下的蘋果多？多幾個？（適于四年級程度）

解：作圖18-1。

哥哥吃了8個后，剩下蘋果：

10-8=2（個）

弟弟吃了5個后，剩下蘋果：

10-5=5（個）

弟弟剩下的蘋果比哥哥的多：

5-2=3（個）

答：弟弟剩下的蘋果多，比哥哥的多3個。

例2：

一桶煤油，倒出40％，還剩18升。這桶煤油原來是多少升？（適于六年級程度）

解：

作圖18-2。

從圖中可看出，倒出40％后，還剩：

1-40％=60％

這60％是18升所對應(yīng)的百分率，所以這桶油原來的升數(shù)是：

18÷60％=30（升）

答略。

例3：

把2米長的竹竿直立在地面上，量得它的影長是1.8米，同時量得電線桿的影長是5.4米。這根電線桿地面以上部分高多少米？（適于六年級程度）

解：

根據(jù)題意畫出如圖18-3（見下頁）的示意圖。

同一時間，桿長和影長成正比例。設(shè)電線桿地面以上部分的高是x米，得：

1.8∶5.4=2∶x

答略。

（二）線段圖

線段圖是以線段的長短表示數(shù)量的大小，以線段間的關(guān)系反映數(shù)量間關(guān)系的一種圖形。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中線段圖是使用最多、最方便的一種圖形。

例1：

王明有15塊糖，李平的糖是王明的3倍。問李平的糖比王明的糖多多少塊？（適于三年級程度）

解：

作圖18-4

從圖18-4可看出，把王明的15塊糖看作1份數(shù)，那么李平的糖就是3份數(shù)。

李平比王明多的份數(shù)是：

3-1=2（份）

李平的糖比王明的糖多：

15×2=30（塊）

綜合算式：

15×（3-1）

=15×2

=30（塊）

答略。

例2：

托爾斯泰是俄羅斯偉大作家，享年82歲。他在19世紀(jì)中度過的時間比在20世紀(jì)中度過的時間多62年。問托爾斯泰生于哪一年？去世于哪一年？（適于四年級程度）

解：

作圖18-5。

從圖18-5可看出，他在20世紀(jì)度過的時間是：

（82-62）÷2

＝20÷2

=10（年）

由此看出，他死于1910年。他出生的時間是：

1910-82=1828（年）

（三）思路圖

小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多應(yīng)用題，需要用綜合法或分析法分析解答。如果把思維的過程用文字圖形表示出來，就有助于正確選擇已知數(shù)量，提出中間問題，理清數(shù)量關(guān)系，從而順利解題。這種表示思維過程的圖形就是思路圖。

例題參見前面的分析法和綜合法。

（四）正方形圖

借助正方形圖解應(yīng)用題，就是以正方形的邊長、面積表示應(yīng)用題中的數(shù)量，使應(yīng)用題數(shù)量之間的關(guān)系具體而明顯地呈現(xiàn)出來，從而達(dá)到便于解題的目的。

例1：

農(nóng)民張成良，把自己承包的土地的一半種了玉米，1/4種了高粱，1/8種了大豆。在剩的2公頃地里種了棉花。張成良承包了多少公頃土地？（適用于四年級程度）

解：

根據(jù)題意作圖18-7。

所以，他承包的土地是：

2×8=16（公頃）

答略。

例2：

有大小兩個正方形，其中大正方形的邊長比小正方形的邊長多4厘米，面積比小正方形的面積大96平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？（適于六年級程度）

解：

求大、小正方形的面積，應(yīng)知道大、小正方形的邊長，但題中沒有說，也不好直接求出來。借助畫圖形的方法可輕易解決這個問題。

根據(jù)題意作圖18-8。

圖中大正方形ABCD的面積比小正方形的面積大96平方厘米。這96平方厘米的面積是由兩個長方形a及比長方形還小的正方形c構(gòu)成。從96平方厘米減去正方形c的面積，再除以2就可求出長方形a的面積。

（96-4×4）÷2=40（平方厘米）

因為長方形a的寬是4厘米，所以長方形a的長是：

40÷4=10（厘米）

因為10厘米也是小正方形的邊長，所以小正方形的面積是：

10×10=100（平方厘米）

大正方形的邊長是：

4+10=14（厘米）

大正方形的面積是：

14×14=196（平方厘米）

答略。

（五）長方形圖

借助長方形圖解應(yīng)用題，是以長方形的長表示一種數(shù)量，以長方形的寬表示另一種數(shù)量，以長方形的面積表示這兩種數(shù)量的積。它能把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的面積來計算問題。

*例1：

甲、乙兩名工人做機器零件，每天甲比乙多做10個?，F(xiàn)在甲工作15天，乙工作12天，共做出1500個零件。問甲、乙兩人每天各做多少個零件？（適于五年級程度）

解：

根據(jù)題意作圖18-9

圖18-9中，以左邊長方形的長表示甲工作15天，以左邊長方形的寬表示甲每天做多少個；以右邊長方形的長表示乙工作12天，以右邊長方形的寬表示乙每天做多少個。

圖中右上角那個長方形的寬表示甲每天比乙多做10個，所以，乙在12天中比甲少做零件：

10×12=120（個）

圖中全部陰影部分的面積表示甲、乙共做的零件1500個。

從圖18-9可以看出，整個大長方形面積所表示的零件的個數(shù)是：

1500+120=1620（個）

這個長方形的長表示甲、乙共同工作的天數(shù)：

15+12=27（天）

因為大長方形的寬表示甲每天做零件的個數(shù)，所以甲每天做零件的個數(shù)是：

1620÷27=60（個）

乙每天做零件的個數(shù)是：

60-10=50（個）

答略。

* 例2：

某商店賣出蘋果、鴨梨和桔子共25筐，其中鴨梨的筐數(shù)是桔子筐數(shù)的2倍。蘋果每筐賣90元，鴨梨每筐賣72元，桔子每筐賣60元，共賣得1854元。問賣出蘋果、鴨梨和桔子各多少筐？（適于六年級程度）

解：

根據(jù)題意作圖18-10。

圖18-10中陰影部分表示，如果25筐都是蘋果，則所造成的差價是：

90×25-1854=396（元）

每賣出1筐桔子、2筐鴨梨、3筐蘋果的差價是：

（90-72）×2+（90-60）

=36+30

=66（元）

因此，桔子的筐數(shù)是：

396÷66=6（筐）

鴨梨的筐數(shù)是：

6×2=12（筐）

蘋果的筐數(shù)是：

25-6-12=7（筐）

答略。

（六）條形圖

條形圖是把長方形的長畫得比較長，把長方形的寬畫得比較短的一種圖形。條形圖一般以長方形的長表示數(shù)量。條形圖可以畫成豎的，也可以畫成橫的。題中不同的數(shù)量可用不同的陰影線或不同的顏色表示。題中的數(shù)量可寫在長方形內(nèi)，也可寫在長方形外面。

條形圖比線段圖更直觀一些，在用來解某些應(yīng)用題時效果要比線段圖好。

但是，實際上是運出125噸。這140噸比實際運出的多：

140-125=15（噸）

所以15噸所對應(yīng)的分率是：

甲庫原來的存糧噸數(shù)是：

420-180=240（噸）

答略。

*例3：

一組割草人要把大、小兩塊草地的草割掉，其中大塊草地的面積是小塊草地面積的2倍。全體組員用半天的時間割大塊草地的草。下午一半的組員仍停留在大塊草地上割，另一半到小塊草地上割。到傍晚時，大塊草地的草全部割完，而小塊草地還剩下一小塊。這剩下的一小塊，第二天一個人用一天的時間就割完了。這組割草的一共有多少人？（適于六年級程度）

全體組員割一個上午后，一半的組員又割一個下午就把大塊地的草割完，這就是說，要是用一半的組員單獨割大塊草地的草，就要用3個半天，而在

答略。

（七）圓形圖

借助圓形圖解應(yīng)用題，是以圓的面積或周長表示題中的數(shù)量，并在圓周內(nèi)、外標(biāo)上數(shù)字、符號，從而達(dá)到便于分析數(shù)量關(guān)系的目的。

例1 ：

甲、乙兩個學(xué)生同時從同一起點沿著一個環(huán)形跑道相背而跑。甲每秒鐘跑8米，乙每秒鐘跑7米，經(jīng)過20秒鐘兩人相遇。求環(huán)形跑道的周長。（適于五年級程度）

解：

作圖18-14。

從圖中可看出，甲、乙兩人跑的路程的總和就是圓的周長。根據(jù)“速度和×相遇時間=相遇路程”，可求出環(huán)形跑道的周長：

（7+8）×20=300（米）

答略。

例2：

有三堆棋子，這三堆棋子所含棋子的個數(shù)一樣多，且都只有黑、白兩色棋子。第一堆里的黑子與第二堆的白子一樣多，第

棋子的幾分之幾？（適于六年級程度）

解：

作圖18-16。

從圖中可看出，把第一堆里的黑子與第二堆里的白子交換，則第一堆全是白子，第二堆全是黑子。

因為第一堆與第二堆的棋子數(shù)相同，所以第一堆的白子數(shù)與第二堆的黑

所以，白子占全部棋子的：

*例3：

甲、乙兩人同時從環(huán)形路的同一點出發(fā)，同向環(huán)行。甲每分鐘走70米，乙每分鐘走46米。環(huán)形路的長是300米。他們出發(fā)后，在1小時20分里相會幾次？到1小時20分時兩人的最近距離是多少米？（適于五年級程度）

解：

作圖18-17。

甲、乙二人1分鐘的速度差是：

70-46=24（米）

由二人出發(fā)到第一次相會所需的時間是：

300÷24=12.5（分）

1小時20分鐘即為80分鐘。80分鐘內(nèi)包含幾個12.5分鐘，二人即相會幾次。80分鐘內(nèi)包括6個12.5分鐘，還多5分鐘，即二人相會6次。

由于第六次相會后還走5分鐘，所以甲乙之間相隔：

24×5=120（米）

此時，甲、乙之間還有一個距離是：

300-120=180（米）

180＞120米

答：在1小時20分鐘里兩人相會6次；到1小時20分鐘時，兩人的最近距離是120米。

（八）染色圖

在圖中用不同的顏色表示不同的內(nèi)容或不同的數(shù)量，以利于解題的圖形叫染色圖。染色圖是解決數(shù)學(xué)題和智力題常用的一種圖形。

*例1：

圖18-18是某湖泊的平面圖，圖中的所有曲線都表示湖岸。某人從岸邊A點到B點至少要趟幾次水？B點是在水中還是在岸上？（適于高年級程度）

解：

這個問題好像很難解答。但我們按“圖中所有曲線都是表示湖岸”的已知條件，將湖面染上色，湖岸部分就顯示出來了，答案也就一目了然了（圖18-19）。

答：他至少要趟3次水才能達(dá)到B處，B點在湖岸上。

* 例2：

如圖18-20，某展覽館有36個展室，每兩個相鄰展室之間均有門相通。問你能否從圖中入口進去，不重復(fù)地參觀完每個展室后，再從出口處出來？（適于高年級程度）

解：

作圖18-21。把圖中36個方格相間地染上黑色。因入口處是白格，參觀時若依順序?qū)⒄故揖幪?，那么進入第奇數(shù)號展室時，應(yīng)是白格位置；進第偶數(shù)號展室應(yīng)是黑格。即應(yīng)按白→黑→白→黑→……順序交替參觀。

參觀者最后離開的是第36號展室，它是偶數(shù)，按上面的分析它應(yīng)是黑格，但圖中實際為白色方格。這說明題中要求的參觀方式是不可能實現(xiàn)的。

答略。

*例3：

將圖18-22矩形 ABCD的一邊AD分成6小段，其中線段1+線段3+線段5=線段2+線段4+線段6。連結(jié)對角線BD，用紅（圖中用橫線表示）、藍(lán)（圖中用堅線表示）兩色將圖形分別染色。問圖中染紅色部分面積與染藍(lán)色部分面積哪個大？（適于高年級程度）

解：

此題利用三角形、梯形面積公式可算出結(jié)果，但較麻煩。用染色的方法解此題比較簡捷。

先將圖中BD線左下面的空白處染上黑色，用S紅、S藍(lán)、S黑分別表示染紅、藍(lán)、黑三種顏色圖形的面積（圖18-23）。

從圖18-23很容易看到：

另外，S藍(lán)+S黑等于3個小矩形面積的和，而它恰好等于矩形ABCD面積的一半，即：

這就是說：

S紅+S黑=S藍(lán)+S黑

從上面算式的兩邊同時減去S黑，得：

S紅=S藍(lán)

答：圖中染紅色部分的面積與染藍(lán)色部分的面積一樣大。

*例4：

圖18-24的圖形是從4×4的正方形紙上剪去兩個1×1的小方紙片后得到的。它們的面積都是14。若把它們剪成1×2的小矩形，最多能剪幾個？為什么？（適于高年級程度）

解：

圖 18-24的三個圖形除了（1）可以剪出 7個 1×2的小矩形外，（2）、（3）不管怎么剪，至多都只能剪出6個來。原因是：

分別用黑白兩色對圖形（1）、（2）、（3）相間地涂色（圖18-25）。從它們上面剪下來的每一個小矩形都由兩個相鄰的小方格組成，這兩個小方格上涂有不同的顏色，如圖18-25中

（4）。既然每個1×2的小矩形都由一個白色格和一個黑色格組成（因為三個圖形的面積都是14個方格，把它們剪成1×2的小矩形，照面積來算，似乎都應(yīng)剪出7個來），要想剪出7個小矩形，當(dāng)然得有7個白格和7個黑格，但在圖18-25中，只有圖形（1）是這樣的，圖形（2）、（3）都有8個白格和6個黑格。故它們只能剪出6個小矩形。

答略。

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