解讀《三體》:7. 三體運(yùn)動(dòng)：歐拉、拉格朗日特解與三體運(yùn)動(dòng)的新特解

魏成領(lǐng)悟到“空”的微妙之處以及三體運(yùn)動(dòng)的基本圖景后，用自己的方法，不通過(guò)計(jì)算機(jī)，只用紙筆計(jì)算三體運(yùn)動(dòng)。

一個(gè)年輕的女人因?yàn)閾斓搅怂麃G棄的草稿紙而找到他，對(duì)他的方法非常感興趣，約他下山，為他提供計(jì)巨型計(jì)算機(jī)。魏成答應(yīng)了她。此人是申玉菲，后來(lái)成為魏成的妻子。此時(shí)的申玉菲已經(jīng)是三體教的信徒。魏成無(wú)意中聽(tīng)到她祈禱：“佛祖保佑我主脫離苦海。”魏成非常不解，但無(wú)法盤(pán)問(wèn)出任何信息。這讓魏成感到恐怖。他問(wèn)了長(zhǎng)老，長(zhǎng)老考慮片刻后，告訴他：“她的那個(gè)主，是真實(shí)存在的。”“佛祖的存在是你不能夠理解的存在；而她說(shuō)的主，是以你能夠理解的方式存在著的……”長(zhǎng)老勸他別跟申玉菲走，因?yàn)樗X(jué)得“她背后可能有一些你我都無(wú)法想象的事情”。

下山之后，魏成與申玉菲結(jié)婚，申玉菲非常有錢(qián)，魏成有小型機(jī)，還可以到國(guó)外用大型機(jī)。他過(guò)著“衣來(lái)伸手，飯來(lái)張口”的生活，只需要專(zhuān)著研究三體運(yùn)動(dòng)，其他一概不用管。申玉菲從不干涉魏成生活，“我甚至敢肯定，自己帶一個(gè)女人回家她都不在乎”，夫妻倆唯一交流的內(nèi)容就是三體問(wèn)題，申玉菲每天都要了解研究的進(jìn)展。

這次魏成來(lái)報(bào)案，是因?yàn)橛腥艘\殺他。

在寫(xiě)到魏成并提到“三體問(wèn)題”后，劉慈欣加了注解：“三個(gè)質(zhì)量相同或相近的物體在相互引力的作用下如何運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，是古典物理學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題，對(duì)天體運(yùn)動(dòng)研究有重要意義，自十六世紀(jì)以來(lái)一直受到關(guān)注。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日，以及近年來(lái)一些借助于計(jì)算機(jī)研究的學(xué)者，都找出了三體問(wèn)題的某些特解。”

這里，大劉將三體運(yùn)動(dòng)等同于“一般三體運(yùn)動(dòng)”，而事實(shí)上，三體運(yùn)動(dòng)還包括了“限制性三體運(yùn)動(dòng)”。前者對(duì)質(zhì)量沒(méi)有限制，可以是完全相同，可以是不相同；后者則常常假定一個(gè)“大質(zhì)量+兩個(gè)小質(zhì)量”或者“一個(gè)小質(zhì)量+兩個(gè)大質(zhì)量”。

歐拉、拉格朗日當(dāng)初的研究工作中，確實(shí)涉及到“一般三體運(yùn)動(dòng)”，但也初步涉及到“限制性三體運(yùn)動(dòng)”。

我們?cè)谙旅鎯晒?jié)現(xiàn)在開(kāi)始分析歐拉、拉格朗日的工作。

                                                                        歐拉生平與貢獻(xiàn)

歐拉歐拉（Leonhard Euler）于1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾（Basel）的一個(gè)牧師家庭。歐拉自幼天賦超人，10歲即自學(xué)《代數(shù)學(xué)》，13歲進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，主修哲學(xué)與法律，但因?yàn)樗臄?shù)學(xué)才華受到當(dāng)時(shí)歐洲大陸最杰出的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利的激賞，因此每個(gè)周六下午到約翰那里接受單獨(dú)指導(dǎo)。在約翰·伯努利的悉心指導(dǎo)下，歐拉憑借自己的超人才華，于15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得哲學(xué)碩士學(xué)位，學(xué)位論文的主題是研究笛卡爾哲學(xué)和牛頓哲學(xué)的比較。然后，歐拉遵從了父親的意愿，開(kāi)始學(xué)神學(xué)、希臘語(yǔ)和希伯來(lái)語(yǔ)。約翰·伯努利以歐拉可以成為一個(gè)偉大數(shù)學(xué)家為由，說(shuō)服了歐拉父親，讓歐拉學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。1726年，19歲的歐拉完成了博士學(xué)位論文，內(nèi)容是研究聲的傳播規(guī)律，然后他獲得了巴塞爾大學(xué)的一個(gè)教職。1727年，20歲的歐拉參加了巴黎科學(xué)院有獎(jiǎng)問(wèn)題競(jìng)賽（the Paris Academy Prize Problem competition），競(jìng)賽主題是找出船上的桅桿的最優(yōu)放置方法。歐拉獲得二等獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的是被譽(yù)為“艦船建造學(xué)之父”的布格（Pierre Bouguer）。此后，歐拉再也沒(méi)有得過(guò)二等獎(jiǎng)，而是在他一生中12次贏得該獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)。1734年1月7日，27歲的歐拉與科學(xué)院附屬中學(xué)的一個(gè)名為柯黛琳娜·葛塞爾（Katharina Gsell，1707-1773）的美術(shù)教師結(jié)婚，對(duì)方也是瑞士人。此后兩人生了13個(gè)子女，但僅有5個(gè)活到成年。

1735年，歐拉用自己創(chuàng)立的方法用三天時(shí)間計(jì)算并解決了與彗星軌道有關(guān)的天體力學(xué)難題，據(jù)說(shuō)其他著名數(shù)學(xué)家用了幾個(gè)月時(shí)間才得到相同結(jié)果。這一年，歐拉右眼失明。失明的原因有多種說(shuō)法，歐拉認(rèn)為是制作地圖時(shí)太用功，有些記載則認(rèn)為是因?yàn)槌掷m(xù)三天計(jì)算彗星軌道問(wèn)題，還有一種說(shuō)法認(rèn)為這是因?yàn)橹叭甑囊粓?chǎng)發(fā)熱導(dǎo)致的。最可能的情況是持久的積勞成疾與疾病導(dǎo)致。

1741年6月19日，歐拉應(yīng)普魯士腓特烈大帝之邀離開(kāi)圣彼得堡，前往柏林科學(xué)院任物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)，在此后25年，他繼續(xù)辛勤耕耘，寫(xiě)的文章超過(guò)380篇文章。

1766年，在沙皇凱瑟琳二世的懇求下，59歲的歐拉返回圣彼得堡。這一年，歐拉的另一只眼睛檢查出白內(nèi)障，很快也失明了。但因?yàn)闅W拉有極好的心算能力，有一個(gè)著名的事跡是：他的兩個(gè)學(xué)生在計(jì)算一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)求和時(shí)算到第50位數(shù)，結(jié)果出現(xiàn)差異，歐拉對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行心算，把錯(cuò)誤找出。因此，歐拉開(kāi)始在腦中完成論文，念給書(shū)記員聽(tīng)，然后書(shū)記員記錄下來(lái)，在失明后的17年間，他通過(guò)這種口述的方式，完成了幾本著作和大約400篇論文。

1771年，圣彼得堡大火災(zāi)，歐拉的大量著作無(wú)法搶救出來(lái)，被燒毀。幸好，歐拉有驚人的記憶力，他可以從頭到尾背下維吉爾的史詩(shī)《埃涅阿斯紀(jì)》，能夠復(fù)述年青時(shí)寫(xiě)下的筆記。憑借驚人的記憶力與毅力，歐拉重新背出大量著作，由學(xué)生與其長(zhǎng)子A·歐拉（也是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，但貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不及父親）整理成書(shū)。

1783年9月18日下午，歐拉剛計(jì)算完氣球上升定律，為慶祝這個(gè)成功，歐拉請(qǐng)朋友們吃飯，并和孫子嬉戲，喝完茶后，突然疾病發(fā)作，煙斗從手中掉落，說(shuō)了人生最后一句話：“我死了?！比缓蠼K止了他偉大的一生。

歐拉是舉世聞名的數(shù)學(xué)大師，對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域都是出色的貢獻(xiàn)。所以數(shù)學(xué)上有許多以以他的名字命名的重要公式、定理以及常數(shù)。

歐拉對(duì)分析學(xué)（包括微積分、微分方程、變分法等領(lǐng)域）有杰出貢獻(xiàn)。微積分雖然被牛頓與萊布尼茨分別創(chuàng)立，但是依然應(yīng)用不大廣泛，其理論根基也不夠牢固。正是歐拉在五十多年的辛勤工作中，使微積分、微分方程都獲得極為繁榮的發(fā)展，并與后來(lái)的拉格朗日一起，開(kāi)辟了變分法。歐拉寫(xiě)的《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》是18世紀(jì)歐洲標(biāo)準(zhǔn)的微積分教科書(shū)，此后幾百年的微積分教材，要么抄歐拉，要么抄那些抄歐拉的著作。

歐拉是一個(gè)極其多產(chǎn)的作者。他寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，一生完成886種論文與書(shū)籍，平均每年寫(xiě)800多頁(yè)。除了教科書(shū)外，他的全集有74卷。圣彼得堡科學(xué)院用了47年時(shí)間才整理完他的著作。由于歐拉在分析學(xué)方面作出的杰出貢獻(xiàn)，他因此被稱(chēng)為“分析的化身”。他的老師約翰·伯努利對(duì)他說(shuō)：“我介紹高等分析的時(shí)候，它還是個(gè)孩子，而你正在將它帶大成人。”阿拉戈（D. F. J. Arago）說(shuō)：“歐拉計(jì)算起來(lái)輕松自如， 就像人們呼吸， 鷹在空中飛翔?！?/span>拉普拉斯說(shuō)：“讀歐拉吧，讀歐拉吧，他是我們所有人的導(dǎo)師。（Read Euler, read Euler, he is the master of us all.）”。19世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)：“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法?！?/span>二十世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)大師韋伊（A.Weil）說(shuō)：“今天的學(xué)生從歐拉的無(wú)窮分析引論中所能獲得的益處，是現(xiàn)代任何一本教科書(shū)都不能比擬的?！?/span>

                                                                                歐拉與三體運(yùn)動(dòng)

這里，我只強(qiáng)調(diào)他在三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的貢獻(xiàn)。

在二體系統(tǒng)中，小的天體圍繞大的天體作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)或雙曲軌道或者拋物軌道運(yùn)動(dòng)。如果這時(shí)候加上一個(gè)其他天體，那么將如何？

比如月球繞著地球運(yùn)動(dòng)，假設(shè)地球是標(biāo)準(zhǔn)的圓球，那么這就是一個(gè)二體運(yùn)動(dòng)，月球顯然繞著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。但不要忘了，附近還有一個(gè)太陽(yáng)，雖然它距離月球大約1億5千萬(wàn)千米，比地月之間的平均距離（38萬(wàn)千米）大了大約400倍，但它的質(zhì)量卻是地球的數(shù)百萬(wàn)倍。

根據(jù)現(xiàn)代理論，月球本是一個(gè)外來(lái)的星球，撞擊到地球一極，地球一開(kāi)始繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)時(shí)，赤道面與公轉(zhuǎn)軌道面是重合的，被這么一撞擊，產(chǎn)生了偏離，于是其南北極連線與太陽(yáng)南北極連線不再平行，太陽(yáng)的照射在一年中因此不同，因此地球有了春夏秋冬，也就有了古往今來(lái)中外詩(shī)人詞人的傷春悲秋。然而由于月球依然受到太陽(yáng)的吸引力干擾，使得月球的精確位置不容易預(yù)測(cè)，這是一個(gè)三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，月球問(wèn)題也是被研究地最多的三體問(wèn)題之一。牛頓在創(chuàng)立天體力學(xué)之后，就開(kāi)始研究月球問(wèn)題。據(jù)說(shuō)牛頓從不頭痛，但是思考月球運(yùn)動(dòng)時(shí)就會(huì)頭痛。因?yàn)樵虑蜻\(yùn)動(dòng)過(guò)程中，即使不考慮其他行星的引力擾動(dòng)（天文學(xué)家稱(chēng)之為“攝動(dòng)”），太陽(yáng)的引力擾動(dòng)也時(shí)無(wú)法避免的。這就是一個(gè)三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

歐拉是月球運(yùn)動(dòng)理論的實(shí)際創(chuàng)立者。雖然牛頓進(jìn)行了一些前驅(qū)工作，但直到歐拉歐拉持續(xù)數(shù)十年的工作之后，月球理論才被完整建立。對(duì)整個(gè)微積分、微分方程以及天體力學(xué)（包括三體運(yùn)動(dòng)）做出關(guān)鍵性貢獻(xiàn)的人中，歐拉是第一個(gè)。但是，作為月球動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人，作為偉大的數(shù)學(xué)家與偉大天體力學(xué)家的歐拉，在月球問(wèn)題上面奮斗了數(shù)十年之后，沮喪地宣稱(chēng)自己這四十年的努力是失敗的。他們遠(yuǎn)沒(méi)有那些詩(shī)人詞人悠閑。

直接求解三體問(wèn)題是極其困難的，因此天體力學(xué)家只能退而求其次，先考慮二體互相環(huán)繞，然后加入一個(gè)小的第三體進(jìn)行擾動(dòng)，這個(gè)方法被稱(chēng)為“攝動(dòng)方法”。                                                                  

盡管晚年的歐拉宣稱(chēng)自己在月球運(yùn)動(dòng)理論中奮斗四十多年的結(jié)果是失敗的，但他卻反而在一般三體運(yùn)動(dòng)方面做出了一個(gè)相當(dāng)意外的杰出成果：在他60歲時(shí)（1767年），他發(fā)現(xiàn)了三體運(yùn)動(dòng)的3個(gè)特殊解，在這3個(gè)解之中，3個(gè)質(zhì)點(diǎn)始終共線且繞質(zhì)心做橢圓運(yùn)動(dòng)。這三個(gè)點(diǎn)被稱(chēng)為“歐拉特解”。

在這篇著名的論文中，歐拉創(chuàng)立了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，在這樣的坐標(biāo)系中研究圓型限制性三體運(yùn)動(dòng)。此前的坐標(biāo)系都是固定坐標(biāo)系，三個(gè)物體的位置隨時(shí)變化。在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，兩個(gè)大天體的連線被確定為 x 軸，它們的質(zhì)心被確定為原點(diǎn)。這兩個(gè)大天體圍繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，x軸跟著同步轉(zhuǎn)動(dòng)，使得兩個(gè)物體始終位于x軸，這就是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。

歐拉的這個(gè)絕妙處理，是三體問(wèn)題上的一個(gè)極重要進(jìn)展。

他發(fā)現(xiàn)的3個(gè)平衡點(diǎn)后來(lái)也被拉格朗日發(fā)現(xiàn)，因此被后世稱(chēng)為“第一拉格朗日點(diǎn)”（L1）、“第二拉格朗日點(diǎn)”（L2）與“第三拉格朗日點(diǎn)”（L3），但更確切的稱(chēng)呼其實(shí)應(yīng)該是“第一歐拉點(diǎn)”、“第二歐拉點(diǎn)”與“第三歐拉點(diǎn)”。這三個(gè)點(diǎn)也許應(yīng)該被稱(chēng)為“歐拉-拉格朗日點(diǎn)”才更確切。這三個(gè)點(diǎn)在航天學(xué)上有極其重要的應(yīng)用。

                                                            拉格朗日與三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）是法國(guó)偉大數(shù)學(xué)家之一。1736年1月25日生于意大利都靈。1755年，19歲的拉格朗日解決了著名的“等周問(wèn)題”，與歐拉一起成為“變分法”的創(chuàng)始人，因此成為都靈皇家炮兵學(xué)校的教授。第二年，由于歐拉的舉薦，20歲的拉格朗日稱(chēng)為普魯士科學(xué)院通訊院士。

1763年，27歲的拉格朗日用萬(wàn)有引力解釋了月球的天平動(dòng)問(wèn)題（通俗說(shuō)，既是月球的搖擺問(wèn)題），因此于第二年獲得法國(guó)科學(xué)院獎(jiǎng)勵(lì)。

由于潮汐鎖定，月球的公轉(zhuǎn)周期和自轉(zhuǎn)周期相同，始終以同一面對(duì)著地球。但是，由于地球的非球形部分產(chǎn)生的額外攝動(dòng)，月球會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)頭和搖頭運(yùn)動(dòng)，即所謂的天平動(dòng)，點(diǎn)頭的是緯度天平動(dòng)，搖頭的是經(jīng)度天平動(dòng)。實(shí)際上，在天體力學(xué)中，天平動(dòng)是一種普通的現(xiàn)象，可以在太陽(yáng)系許多天體的運(yùn)動(dòng)中觀測(cè)到。經(jīng)度天平動(dòng)和緯度天平動(dòng)合稱(chēng)為“物理天平動(dòng)”，因為它們是由真實(shí)的力學(xué)效應(yīng)引起的。還有一種天平動(dòng)是光學(xué)天平動(dòng)，是因?yàn)樵诘厍虻牟煌胤接^測(cè)后拼接的觀測(cè)圖比單獨(dú)一個(gè)地方觀測(cè)多出的部分。這樣，我們實(shí)際看到的月球就不是它表面的一半，而是61%。拉格朗日研究了天平動(dòng)的動(dòng)力學(xué)起因，并因此獲得大獎(jiǎng)。

1766年，拉格朗日因?yàn)榻鉀Q木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（這是一個(gè)六體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）獲得法國(guó)科學(xué)院獎(jiǎng)勵(lì)。

1813年4月11日早晨，拉格朗日逝世。

拉格朗日在全部著作超過(guò)500篇，對(duì)數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)的主要領(lǐng)域都作出非常重要的貢獻(xiàn)，他在天體力學(xué)方面的很多工作被稍后的拉普拉斯吸收繼承發(fā)展，事實(shí)上，拉普拉斯就抄襲了不少拉格朗日的成果，因此留下了抄襲者的惡名。當(dāng)然，拉普拉斯本人也是非常杰出的天體力學(xué)大師與數(shù)學(xué)大師，只是有時(shí)候過(guò)于虛榮，不愿意承認(rèn)拉格朗日的某些貢獻(xiàn)。換言之，即使去除抄襲拉格朗日的那些成果，拉普拉斯依然是偉大的天體力學(xué)大師與數(shù)學(xué)大師。法國(guó)當(dāng)時(shí)有"3L”，是拉格朗日、拉普拉斯與勒讓德三人的首字母并稱(chēng)。其中拉格朗日名譽(yù)最好，拉普拉斯因?yàn)槌u和政治上見(jiàn)風(fēng)使舵而被后代批評(píng)。

拉格朗日最著名的專(zhuān)著是《分析力學(xué)》，整部書(shū)沒(méi)有一張圖，他對(duì)此頗為自得。這部書(shū)是牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之后的又一部經(jīng)典力學(xué)巨著。物理系學(xué)生學(xué)習(xí)的四大力學(xué)的第一個(gè)就是：“理論力學(xué)”，其實(shí)就是“分析力學(xué)”。

這里我依然只強(qiáng)調(diào)拉格朗日在三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中的貢獻(xiàn)。

在歐拉得到三個(gè)特解之后五年，即1772年，拉格朗日不僅得出了歐拉的三個(gè)特殊解，而且得出了另外兩個(gè)解，這五個(gè)解被統(tǒng)稱(chēng)為“拉格朗日平衡點(diǎn)”，拉格朗日新發(fā)現(xiàn)的那兩個(gè)點(diǎn)分布于等邊三角形的頂點(diǎn)，在一定的初始條件下將始終保持在等邊三角形的頂點(diǎn)上，如下圖。

順便提一句，孫義燧院士與周濟(jì)林教授合著的《現(xiàn)代天體力學(xué)導(dǎo)論》（2008年）的封面唯一用到的圖案此圖。

必須特別提及的是，歐拉特解與拉格朗日特解，不僅對(duì)于限制性三體運(yùn)動(dòng)成立，對(duì)于任意質(zhì)量的三體運(yùn)動(dòng)也成立。

由于拉格朗日的五個(gè)解中包含了歐拉的三個(gè)解，那三個(gè)解（共線解）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)因此被稱(chēng)為L(zhǎng)1，L2，L3，這三個(gè)解“線性不穩(wěn)定”，因此也“不穩(wěn)定”。

拉格朗日新發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱(chēng)為L(zhǎng)4與L5，這兩個(gè)點(diǎn)是“線性穩(wěn)定的”，但是在“非線性”時(shí)是否穩(wěn)定，則需要用到幾十年前發(fā)展起來(lái)的著名而艱深的KAM理論。

這五個(gè)點(diǎn)非常有用。先考慮兩個(gè)天體，都繞著質(zhì)心做橢圓或者圓周運(yùn)動(dòng)。再考慮第三個(gè)天體，則三個(gè)歐拉-拉格朗日點(diǎn)（L1，L2，L3）分別在兩個(gè)物體內(nèi)部（L1）

和兩個(gè)物體外側(cè)（L2，L3），分別被稱(chēng)為內(nèi)拉格朗日點(diǎn)與外拉格朗日點(diǎn)。

兩個(gè)拉格朗日秤動(dòng)點(diǎn)（L4，L5）的位置恰好都與另外兩個(gè)天體形成等邊三角形。

三個(gè)不穩(wěn)定的拉格朗日點(diǎn)（L1，L2，L3），也得到了應(yīng)用。

5個(gè)歐拉-拉格朗日點(diǎn)的圖如下圖（距離并未按照真實(shí)比例）。

                           拉格朗日點(diǎn)上的天然天體：木星的特洛伊群與地球的特洛伊群

一開(kāi)始，朗格朗日認(rèn)為自己發(fā)現(xiàn)的秤動(dòng)點(diǎn)（L4與L5）在天文學(xué)上沒(méi)有實(shí)際上的應(yīng)用。

后來(lái)，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)木星軌道上存在著希臘（Greek）小行星群和特洛伊（Trojan）小行星群，它們與木星、太陽(yáng)正好處于等邊三角形頂點(diǎn)處，希臘群在前，特洛伊群在后，前呼后擁地繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)，它們也被統(tǒng)稱(chēng)為特洛伊群。這是一個(gè)驚人優(yōu)美地驗(yàn)證。

希臘群的第一個(gè)成員星是1906年2月22日才被德國(guó)天文學(xué)家沃爾夫（Max Wolf，1863年6月21日-1932年10月3日）發(fā)現(xiàn)的，編號(hào)為588號(hào)。【沃爾夫是德國(guó)著名的天文攝影專(zhuān)家，采用攝影方法，利用長(zhǎng)時(shí)間曝光技巧，根據(jù)劃出的亮線，確定新發(fā)現(xiàn)的天體不是恒星而是小行星。他一生發(fā)現(xiàn)248顆小行星與4顆超新星：SN 1895A、SN 1909A、SN 1920A與SN 1926A（與雷牧斯共同發(fā)現(xiàn)）。沃爾夫還發(fā)現(xiàn)了14P/沃夫彗星和43P/沃夫-哈林頓彗星，并發(fā)現(xiàn)了紅矮星沃夫359，這是最靠近太陽(yáng)系的恒星之一?！?/span>

這顆小行星被命名為“阿喀琉斯”，他是古希臘特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中的英雄人物。此前小行星命名多以希臘女神名字來(lái)命名，但是這顆小行星軌道特別，運(yùn)動(dòng)較慢，處于木星軌道上，因此是比較離群的，符合“阿喀琉斯”特立獨(dú)行的性格，此后在這個(gè)位置又發(fā)現(xiàn)了一些小行星，如，1907年與1919年分別發(fā)現(xiàn)624號(hào)與911號(hào)小行星，他們分別被命名為赫克托爾（特洛伊王子，在特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中殺死普特洛克羅斯，然后又被阿喀琉斯殺死）與阿伽門(mén)儂（特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中的希臘軍統(tǒng)帥），它們被統(tǒng)稱(chēng)為“希臘群”或者“阿喀琉斯群”。按照敵我雙方關(guān)系，“希臘群”中的成員不應(yīng)有“赫克托爾”，因?yàn)樗窍ＥD的敵人，特洛伊的英雄。但是，那時(shí)候尚未區(qū)分“希臘群”與“特洛伊群”，因此出現(xiàn)混合。到21世紀(jì)，希臘群成員已經(jīng)超過(guò)1000顆。

木星軌道后方的發(fā)現(xiàn)幾乎同步于前方。1906年底，在木星軌道后方大約60度發(fā)現(xiàn)編號(hào)為617號(hào)的小行星，跟隨木星運(yùn)動(dòng)，它被命名為普特洛克羅斯，是阿喀琉斯的親密伙伴，此后這個(gè)位置上發(fā)現(xiàn)的小行星都被集體稱(chēng)為“特洛伊群”或者“普特洛克羅斯群”。與上面的道理相同，這個(gè)群不應(yīng)該出現(xiàn)“普特洛克羅斯”，因?yàn)樗恰疤芈逡痢钡臄橙?。?1世紀(jì)，特洛伊群成員超過(guò)600顆。

這類(lèi)群體被統(tǒng)稱(chēng)為“特洛伊群”。

以上是太陽(yáng)-木星系統(tǒng)的特洛伊群。在此后，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)火星-太陽(yáng)、土星-太陽(yáng)、海王星-太陽(yáng)也有類(lèi)似的小行星群，位于L4和L5點(diǎn)。

太陽(yáng)-地球系統(tǒng)的類(lèi)似的特洛伊小行星直到2011年7月才被“紅外線空間望遠(yuǎn)鏡廣域紅外線巡天探測(cè)衛(wèi)星（Wide-field Infrared Survey Explorer，WISE）”發(fā)現(xiàn)，WISE于2009年12月14日發(fā)射。2010年1月6日，拍攝第一張照片，2010年1月14日，以四個(gè)波段開(kāi)始巡天，計(jì)劃為期9個(gè)月，其中前6個(gè)月觀測(cè)99%的天空，后3個(gè)月持續(xù)觀測(cè)。2010年10月，WISE的制冷劑用完，轉(zhuǎn)為觀測(cè)近地天體，2011年2月1日，WISE任務(wù)結(jié)束，進(jìn)入休眠狀態(tài)。2013年12月，NASA重新激活WISE，并將其改名為NEOWISE，被激活后的25天內(nèi)識(shí)別到太陽(yáng)系內(nèi)857個(gè)小天體。

WISE的主要儀器為口徑40厘米的紅外線望遠(yuǎn)鏡，工作波長(zhǎng)3-25微米（3000 -25000納米，我們眼睛可見(jiàn)的光的波長(zhǎng)范圍為400-770納米）。由于極高的靈敏度，天文學(xué)家預(yù)期它每天可以發(fā)現(xiàn)數(shù)十顆小行星。

這顆小行星位于太陽(yáng)-地球L4點(diǎn)，被命名為“2010 TK7”。它的直徑接近300米，遠(yuǎn)日點(diǎn)與近日點(diǎn)分別為1.19095AU與0.80955AU，運(yùn)行軌道的半長(zhǎng)軸為1.00025AU。AU為太陽(yáng)與地球的平均距離。

2010 TK7的偏心率為0.19066，軌道傾角為20.8656°。軌道周期為365.394地球日，接近地球的軌道周期（365.256地球日）。

2010 TK7與地球之間的距離在不斷變化，最小距離也有2000萬(wàn)公里，是月球與地球距離（約38萬(wàn)公里）的50倍。當(dāng)前它與地球之間相距8000萬(wàn)公里，是地月距離的200倍。

2010 TK7的軌道非常奇異，雖然現(xiàn)在它處于L4點(diǎn)，但是卻因?yàn)槭艿狡渌笮行堑臄z動(dòng)引力而四處漂移，有時(shí)候會(huì)漂移到L3點(diǎn)，這是地球背向太陽(yáng)的那個(gè)點(diǎn)，屬于歐拉點(diǎn)，然后還會(huì)漂回來(lái)，來(lái)回運(yùn)動(dòng)的周期約400年。更奇異的是，Martin Connors、Paul Wiegert與Christian Veillet三人在Nature的論文中還指出，公元500年時(shí)，它的位置可能在拉格朗日點(diǎn)L5點(diǎn)，然后通過(guò)L3來(lái)到點(diǎn)L4附近，然后在L3點(diǎn)與L4點(diǎn)之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，周期約400年，半長(zhǎng)軸也以相同周期在0.997到1.003AU之間震蕩。以上兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)見(jiàn)下圖。

由于受到眾多大行星攝動(dòng)，2010TK7的軌道很混亂，難以預(yù)測(cè)。這也正是三體問(wèn)題的核心問(wèn)題。

                                                 歐拉-拉格朗日點(diǎn)上的人造天體：SOHO、GGS Wind與ACE

美國(guó)發(fā)射的由NASA與ESA聯(lián)合管理的太陽(yáng)觀測(cè)衛(wèi)星SOHO（Solar and Heliospheric Observatory，太陽(yáng)和日球?qū)犹煳呐_(tái)）就位于太陽(yáng)-地球系統(tǒng)的L1點(diǎn)上，距離太陽(yáng)很遠(yuǎn)（0.99AU），距離地球很近（0.01AU），因?yàn)橘|(zhì)量與地球大得多，所以必須距離地球近才可以使得這顆衛(wèi)星受到的兩個(gè)引力互相平衡。因此這顆衛(wèi)星其實(shí)不能算嚴(yán)格意義上的衛(wèi)星，它不繞地球運(yùn)動(dòng)，而是跟隨地球一起繞著日-地系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上可以近似地說(shuō)它與地球一起繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，因此日-地系統(tǒng)的質(zhì)心幾乎完全與太陽(yáng)質(zhì)心重合。簡(jiǎn)單說(shuō)，SOHO處于日-地系統(tǒng)的“內(nèi)拉格朗日點(diǎn)”。

SOHO于1995年12月2日發(fā)射升空，1996年5月正式運(yùn)行，原計(jì)劃運(yùn)行2年，但實(shí)際上運(yùn)行時(shí)間超過(guò)18年。SOHO不僅是研究太陽(yáng)的最重要飛船，也可以觀測(cè)彗星，至今已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了2700多顆彗星。SOHO還可以針對(duì)太陽(yáng)活動(dòng)，進(jìn)行太空天氣實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)。在1998年的一次突發(fā)事件中，SOHO差點(diǎn)失控丟失，此后，地面控制人員將其設(shè)置為史上第一個(gè)“三軸穩(wěn)定飛船（three-axis-stabilized spacecraft）”，以其反作用輪（reaction wheels）作為陀螺。陀螺儀是傅科（Léon Foucault）于1852年發(fā)明的，是飛船控制姿態(tài)的最重要儀器。

除了SOHO之外，還有另外至少兩個(gè)衛(wèi)星處于太陽(yáng)-地球系統(tǒng)的L1點(diǎn)附近：GGS Wind與ACE（Advanced Composition Explorer）。

GGS Wind全稱(chēng)是“The Global Geospace Science (GGS) WIND”，是一顆地球科學(xué)衛(wèi)星。其中Wind可能代表新澤西州的East Windsor，這顆衛(wèi)星是在這里的Martin Marietta天文空間部門(mén)設(shè)計(jì)制造的。

GGS WIND衛(wèi)星自轉(zhuǎn)穩(wěn)定化圓柱形衛(wèi)星，直徑2.4米，高1.8米，用以研究太陽(yáng)風(fēng)中的射電與等離子體，也用于研究太陽(yáng)風(fēng)達(dá)到之前的地球磁層（地球上方1 000公里到大氣頂端之間的稀薄電離氣體層）。于1994年12月1日美國(guó)東部時(shí)間04:31:00發(fā)射升空，運(yùn)載火箭為Delta II 7925-10，

GGS WIND本被計(jì)劃于發(fā)射升空不久之后就進(jìn)入L1點(diǎn)，但是因?yàn)镾OHO與ACE被安排在相同區(qū)域，所以直到2004年才持續(xù)處于L1點(diǎn)，至今仍在運(yùn)轉(zhuǎn)。上面用以控制姿態(tài)與位置的燃料還可以讓它正常運(yùn)行約60年。至2014年3月，直接或間接利用GGS WIND的數(shù)據(jù)寫(xiě)出的論文已經(jīng)達(dá)到約3千篇（見(jiàn)wiki 百科的介紹）。ACE全稱(chēng)“Advanced Composition Explorer”（直譯為“高級(jí)組成探測(cè)器”），由約翰霍普金斯應(yīng)用物理實(shí)驗(yàn)室（Johns Hopkins Applied Physics Laboratory）制造，于1997年8月25日14:39:00由Delta II 7920-8發(fā)射升空，

發(fā)射時(shí)為757千克，凈重562千克。

ACE是用以研究太陽(yáng)元素組成、粒子加速與轉(zhuǎn)移等課題的衛(wèi)星。

因?yàn)橐惨芯刻?yáng)，所以也被放在L1點(diǎn)上。

外拉格朗日點(diǎn)有更重要的應(yīng)用。著名的WMAP（The Wilkinson Microwave Anisotropy Probe，威爾金森微波各向異性探測(cè)器）就位于外拉格朗日點(diǎn)L2上，

在日-地系統(tǒng)連線靠近地球的點(diǎn)上，距離地球距離為150萬(wàn)公里（月球與地球平均距離為38萬(wàn)公里，約為這個(gè)距離的4分之1），如下圖所示，地球與太陽(yáng)的距離則為1.5億公里，為這個(gè)距離的100倍。

為何SOHO與WMAP二者一個(gè)在內(nèi)拉格朗日點(diǎn)，一個(gè)在外拉格朗日點(diǎn)？因?yàn)镾OHO要探測(cè)太陽(yáng)，所以直接面對(duì)太陽(yáng)，而WMAP要盡量躲避太陽(yáng)，所以就躲在地球后面。顯然，WMAP也不算真正的衛(wèi)星，也是與地球一起繞著太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，如下圖。

但是，之前已經(jīng)說(shuō)過(guò)，共線情形下的解不穩(wěn)定，也就是說(shuō)，物體在相應(yīng)點(diǎn)不能穩(wěn)定停留，星體位置會(huì)偏離平衡點(diǎn)，這種偏離會(huì)隨著時(shí)間的推移而變大。但是發(fā)射的人造天體含有液體，可以通過(guò)地面控制噴射液體，產(chǎn)生反沖力，維持運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，使星體位置在平衡掉位置附近運(yùn)動(dòng)，這樣的校正，需要的能量并不多，可以實(shí)現(xiàn)。如同一只削尖的鉛筆，筆尖朝下，立在桌面上，即使暫時(shí)穩(wěn)定，但是很快就會(huì)倒下，這就是共線情形不穩(wěn)定的很好類(lèi)比。但如果我們?cè)阢U筆快倒下時(shí)，適當(dāng)?shù)胤鲆幌?，那么鉛筆就會(huì)保持穩(wěn)定。SOHO和WMAP的穩(wěn)定性也是通過(guò)類(lèi)似方式保持的。

從上面的討論中，我們看到了歐拉解與拉格朗日解的巨大威力。

                                                                              三體運(yùn)動(dòng)的新的周期解

在談到三體運(yùn)動(dòng)的進(jìn)展時(shí)，魏成提到了國(guó)外的進(jìn)展：“以目前世界上這個(gè)研究領(lǐng)域的一般狀況來(lái)看，進(jìn)展可以說(shuō)是突破性的。前些年，加利福尼亞大學(xué)的理查德·蒙特哥馬利和巴黎第七大學(xué)的桑塔·克魯茲、阿連·尚斯那，還有法國(guó)計(jì)量研究機(jī)構(gòu)的研究人員，用一種叫做“逼近法”的算法，找到了三體運(yùn)動(dòng)的一種可能的穩(wěn)定形態(tài)：在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，三體的運(yùn)行軌跡將形成一個(gè)首尾銜接的8字形。”

魏成說(shuō)到的8字形（“figure eight”）軌跡，指的是1993年Cristopher Moore發(fā)現(xiàn)的一類(lèi)周期解（特解），見(jiàn)圖\ref{fig:3body}左。下圖右為紗線形（“yarn”）特解。圖上方為抽象空間中的軌跡，下方為真實(shí)空間中看到的軌跡。

三體問(wèn)題周期解在歐拉與拉格朗日之后就就進(jìn)展很少。20世紀(jì)70年代，Roger Broucke和Michel Hénon用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，得到了更多結(jié)果。現(xiàn)在，這些周期解上被分為3族：

[·] 歐拉-拉格朗日族，就是上面介紹的歐拉與拉格朗日發(fā)現(xiàn)的那些平衡點(diǎn)；

[·] Broucke-Hadjidemetriou--Hénon族；

[·] 8字形族。

2013年，這方面的研究獲得又一個(gè)突破性進(jìn)展，物理學(xué)家Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic在《物理評(píng)論快報(bào)》（Phys. Rev. Lett. 110, 114301 (2013)）上發(fā)表文章，宣布發(fā)現(xiàn)13族新的特解，三體問(wèn)題特解的族數(shù)直接從3族擴(kuò)充到16族。

Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic將新的13族分為3類(lèi)：

第1類(lèi)共3族，分別為：

[·] I.A.1~butterfly I（蝴蝶類(lèi)I）；

[·] I.A.2~butterfly II（蝴蝶類(lèi)II）；

[·] I.A.3~bumblebee（大黃蜂類(lèi)）；

第2類(lèi)共7族，分別為：

[·] I.B.1 moth I （飛蛾類(lèi)I）；

[·] I.B.2 moth II （飛蛾類(lèi)II）；

[·] I.B.3 butterfly III （蝴蝶類(lèi)III）；

[·] I.B.4 moth III （飛蛾類(lèi)III）；

[·] I.B.5 goggles （護(hù)目鏡類(lèi)）；

[·] I.B.6 butterfly IV （蝴蝶類(lèi)IV）；

[·] I.B.7 dragonfly（蜻蜓類(lèi)）。

第3類(lèi)共3族（后面2族又分為a與b）族，分別為：

[·] II.B.1~yarn（紗線類(lèi)）；

[·] II.C.2a/b~yin-yang I（“陰陽(yáng)圖”形類(lèi)I）；

[·] II.C.3a/b~yin-yang II（“陰陽(yáng)圖”形類(lèi)II）。

下圖為Milovan Suvakov和Veljko DmitraSinovic

在2013年的《物理評(píng)論快報(bào)》的文章上給出的5類(lèi)解，其中第一類(lèi)是之前已經(jīng)被其他人發(fā)現(xiàn)的。

上圖分別給出三體運(yùn)動(dòng)的特解的6族曲線，前5個(gè)為抽象空間中的軌跡，其中a與d圖及其在真實(shí)空間中的軌跡見(jiàn)圖上上圖的下方。圖f為陰陽(yáng)圖類(lèi)解II型在真是空間中的軌跡。這6族分別為：

[(a)] 8字形類(lèi)軌道；

[(b)] I.A.1~butterfly I（蝴蝶類(lèi)I）；

[(c)] I.B.1 moth I （飛蛾類(lèi)I）；

[(d)] II.B.1~yarn（紗線類(lèi)）；

[(e)] II.C.2a~yin-yang I（“陰陽(yáng)圖”形類(lèi)I）；

[(f)] II.C.3a~yin-yang II（“陰陽(yáng)圖”形類(lèi)II）在真實(shí)空間中的軌跡。

也就是說(shuō)，自從1993年Cristopher Moore發(fā)現(xiàn)8字形軌跡之后，直到2003年，才出現(xiàn)新的突破。

魏成提到了8字形解，又說(shuō)“后來(lái)人們都熱衷于尋找這種特殊的穩(wěn)定狀態(tài)，找到一個(gè)就樂(lè)得跟什么似的，到目前為止也就是找到了三四種。”故事發(fā)生在2007年，從1993年到2007年之間沒(méi)有任何人宣布發(fā)現(xiàn)新的類(lèi)型，一直停留在1993年的情況，直到2013年才一口氣發(fā)現(xiàn)了以上說(shuō)的13族。

魏成接著說(shuō)：“其實(shí)，我用進(jìn)化算法已經(jīng)找到了一百多種穩(wěn)定狀態(tài)，把那些軌跡畫(huà)出來(lái)，足夠辦一個(gè)后現(xiàn)代派畫(huà)展了。”我們就當(dāng)魏成已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了新的軌跡但未公開(kāi)。

魏成接著說(shuō)：“但這不是我的目標(biāo)，三體問(wèn)題的真正解決，是建立這樣一種數(shù)學(xué)模型，使得三體在任何一個(gè)時(shí)間斷面的初始運(yùn)動(dòng)矢量已知時(shí)，能夠精確預(yù)測(cè)三體系統(tǒng)以后的所有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這也是申玉菲渴望的目標(biāo)。”

這恰是拉普拉斯當(dāng)年的設(shè)想，假定任意給定時(shí)刻的速度的大小與方向（速度矢量包含了速度的大小與方向）給定，然后就可以根據(jù)力學(xué)規(guī)律確定出之后的所有精確運(yùn)動(dòng)。這就是所謂的“決定論”。

龐加萊確實(shí)沒(méi)有說(shuō)這樣不可能，他只是說(shuō)三體運(yùn)動(dòng)沒(méi)有一般的積分，除了少數(shù)特解（周期解）之外，絕大多數(shù)情況下，三體運(yùn)動(dòng)的軌跡不可能出現(xiàn)周期性重復(fù)。這是什么意思呢？月球繞著地球旋轉(zhuǎn)，以地球?yàn)閰⒄瘴?，每過(guò)大約27天半，月球就就回歸到原來(lái)位置，如此循環(huán)，這就是最簡(jiǎn)單的周期性運(yùn)動(dòng)。當(dāng)然，實(shí)際上，月球繞地球的距離每年都有幾厘米的變化，其軌道并非精確的橢圓軌道，其運(yùn)動(dòng)并非嚴(yán)格的周期運(yùn)動(dòng)，但我們忽略其他一切外力干擾（攝動(dòng)），月球運(yùn)動(dòng)就是周期運(yùn)動(dòng)。

但三體問(wèn)題中，周期運(yùn)動(dòng)是極難出現(xiàn)的。除了以上16族周期解之外，雖然還可以發(fā)現(xiàn)更多周期解，但周期解數(shù)目依然遠(yuǎn)小于“非周期解”的情況，對(duì)于大多數(shù)三體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)都是無(wú)規(guī)則的。

對(duì)于這樣混亂的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，要計(jì)算它們?cè)诖撕竺恳粫r(shí)刻的位置與速度大小、方向，需要非常復(fù)雜的計(jì)算，因此要?jiǎng)佑么笮陀?jì)算機(jī)。計(jì)算機(jī)能力越強(qiáng)，就能預(yù)測(cè)地越精確。

這個(gè)問(wèn)題不可能通過(guò)方程與模型自身的改進(jìn)來(lái)解決，只能求助于不斷提高的計(jì)算機(jī)計(jì)算能力。所以這實(shí)際上根本用不著魏成，只需要計(jì)算機(jī)。但作為三體人的代理人之一，申玉菲依然希望魏成能夠給出更有效的方法，預(yù)測(cè)三體運(yùn)動(dòng)中，物體進(jìn)行非周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，任何時(shí)刻的位置、速度大小與方向。