我們都知道二次函數(shù)y=ax*2+bx+c的圖像是一條拋物線，也是軸對稱圖形，其對稱軸是直線x=-b/2a.對稱軸是過頂點且與y軸平行(或重合)的直線，當對稱軸為y軸時，當拋物線上的兩點的縱坐標相同時，兩對稱點的橫坐標互為相反數(shù)，此時若x1，x2是拋物線與x軸的兩交點橫坐標，則x1+ⅹ2=0。

當拋物線y=ax*2+bx+c(a≠0)上一點P1(x。，y。)關于對稱軸對稱點的坐標為P2(-b/a-x。，y。)。

通常我們解決此類問題的過程中，研究性質(zhì)的核心問題是首先明確函數(shù)圖像的頂點坐標、對稱軸，拋物線的頂點是解決問題的關鍵點:

⑴由頂點橫坐標可確定對稱軸的直線方程式；

⑵以頂點橫坐標為界，確定函數(shù)的增減性；

⑶以頂點橫坐標為界，已知拋物線與x軸的一個交點坐標，利用對稱性可知另一交點的坐標。

⑷拋物線的頂點是拋物線的最高點(a＜0)或最低點(a＞0)，由此確定二次函數(shù)的最大值或最小值。

在實際應用問題中的一些“變化概念”與函數(shù)增減性之間的關系，必要時可通過圖像法進行判斷。

例題求解

1.如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax*2-4ⅹ+c的圖像經(jīng)過點A和點B.

⑴求該二次函數(shù)的解析式；

⑵寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；

⑶點P(m，m)與點Q均在該函數(shù)圖像上(其中m＞0)，且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到ⅹ軸的距離.

【解析】

⑴ 把點A(-1，-1)，B(3，-9)代人拋物線的解析式，可得a=1，c=-6.所以y=x*2-4x-6.

⑵ 因為y=x*2-4x-6=(x-2)*2-10，所以對稱軸為x=2，頂點坐標為(2，-10).

⑶ 將(m，m)代人y=x*2-4x-6得m=m*2-4m-6，解得m1=-1(因為m>0，以舍去)，m2=6.

又因為點P與點Q關于對稱軸x=2對稱，所以點Q到x軸的距離為6。

【小結(jié)】

我們在確定對稱軸主要有三種方法:

⑴依據(jù)對稱軸公式(當可知拋物線的解析式時)

⑵確定拋物線與x軸的兩個交點的中點橫坐標

⑶由對稱軸公式x=-b/2a，代入系數(shù)a、b可得.

函數(shù)解析式能變形成二次函數(shù)標準形式，則其函數(shù)圖像關于其對稱軸對稱；而拋物線能否關于y軸對稱，則由二次函數(shù)解析式中一次項系數(shù)決定，當b=0時，該拋物線關于y軸對稱。

(由對稱軸公式x=-b/2a可知，當b=0時，x=0，即y軸的直線方程.)。