初中數(shù)學(xué)培優(yōu) 八年級下第四講一元二次方程的解法整數(shù)解要技巧

YKSXY 2019-02-11

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中國目前初中數(shù)學(xué)教育大綱基于以下這個情況，即絕大多數(shù)人現(xiàn)實生活中只會用到三年級以下的數(shù)學(xué)，因此難度下降很大，屬于普遍教育。而高中數(shù)學(xué)的難度并沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。

我曾經(jīng)遇到過本地區(qū)最好的公辦初中的一個學(xué)生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學(xué)生），但是進入高中后感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流后我一句話概括，現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)要求太低，難度太低。

本系列專題講座的習(xí)題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高于中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。

系列里面許多解題方法和擴展的知識對進入高中后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是極其必要的補充。

系列的習(xí)題和例題都在不斷豐富和更新中。

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第四講一元二次方程的解法

一、知識框圖

二、重點難點分析

1. 形如x2==p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的方程一般用直接開平方法,將方程轉(zhuǎn)化為x=或mx+n=,以達到降次的目的。

2.配方法的理論依據(jù)是完全平方式,一般地,任何一個一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式,再利用直接開平方法解。

3.公式法解一元二次方程需要先把方程轉(zhuǎn)化為一般式,確定a,b,c的值,再代入求根公式求解。

4.因式分解法是最常用的一元二次方程的解法,通過因式分解將方程轉(zhuǎn)化為A·B=0的形式,則有A=0或B=0,從而將方程轉(zhuǎn)化為一次方程。

難點分析:

1.解一元二次方程的方法有四種,其中公式法和配方法都是從直接開方法推導(dǎo)而來。解題時要選擇適當(dāng)?shù)姆椒?一般按照先特殊后一般的順序,根據(jù)方程特征選擇,如若方程左邊為完全平方式,右邊為常數(shù),則選擇用直接開平方法;若方程右邊為零,且左邊可以因式分解,則用因式分解法,若方程為一般式可考慮用公式法或配方法。

2.對于含有字母系數(shù)的一元二次方程同樣可以有不同的解法,但要分清已知數(shù)和未知數(shù)。

3.對于含絕對值的方程、高次方程等可以轉(zhuǎn)化為用一元二次方程求解的方程,解題的關(guān)鍵是根據(jù)轉(zhuǎn)化思想利用換元法、分類討論、整體思想等數(shù)學(xué)思想方法將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程求解。

三、例題精選

例1按要求解方程；

（1）x2-16=0(直接開方法)；

（2）x2-4x-12=0(配方法)；

（3）3(x-1)+2(x2-1)=0(因式分解法)；

（4）2x2-4x-1=0（公式法）；

（5）x2+3=2x（任選）；

解答：本例訓(xùn)練四種基本方法，熟能生巧。

（1）移項，開方，得x=；

（2）配方法是整體換元思想的體現(xiàn)，雖然配方的途徑很多，但是解方程的時候，我們希望最后把未知數(shù)全部用一個括號括起來，括號外為一個常數(shù)。

原方程化為：(x-2)2-22-12=0;移項開方后得，x-2=x1=6,x2=-2;

我特意把減去22這步寫出來，就是防止產(chǎn)出計算錯誤。欲速則不達！

（3）3(x-1)+2(x2-1)=(x-1)(3+2x+2)=(x-1)(2x+5);

因此原方程可以改寫為：(x-1)(2x+5)=0，解得x1=1，x2=-2.5

（4）由題意：a=2，b=-4，c=-1；

因此==1。

易錯點:b的正負(fù)號。

（5）最簡單的就是配方法，因為這個題目是個完全平方式。

多練習(xí)是必要的，既要腳踏實地，也有抬頭看天。

x1,2=

例2 已知關(guān)于x的方程(a2-4a+5)x2+2ax+4=0

（1）當(dāng)a=2時，解該方程。

（2）試證明，無論a取任意實數(shù)，該方程都是一元二次方程。

解答：

（1）當(dāng)a=2時，原方程化為x2+4x+4=0，其解為x1,2=-2；

（2）命題等價于方程的二次項系數(shù)不等于0.那么可以用解方程的方法，也可以用配方法來證明。

方法一、解方程的思路，只要證明a2-4a+5=0無解即可。

(a-2)2+1=0,因為對于任意實數(shù)a，(a-2)2+1，因此方程無解。下一講的判別式法，=b2-4ac=-4，無解。

方法二、配方法直接證明：a2-4a+5=(a-2)2+1，所以二次項系數(shù)不可能等于0，命題得證。

兩種方法思想不同，但是解答過程幾乎相同。

方法一的思想，對于含代數(shù)式系數(shù)的方程，可以分析出什么時候是一元二次方程，什么時候是一元一次方程。

例3、請閱讀下面解方程（x2+1）2-2（x2+1）-3=0的過程．

解：設(shè)x2+1=y，則原方程可變形為y2-2y-3=0．

解得y1=3，y2=-1．

當(dāng)y=3時，x2+1=3，∴x=±．

當(dāng)y=-1時，x2+1=-1，x2=-2此方程無實數(shù)解．

∴原方程的解為x1=，x2=-．

我們將上述解方程的方法叫做換元法．

請用換元法解方程：（）2-2（）-15=0.

解答：新材料的題型。

令y=，則原方程化簡為y2-2y-15=0;

解得y1=-3，y2=5；

當(dāng)y=-3時，，x=-1.5；

當(dāng)y=5時，x=1.25；

經(jīng)檢驗x=-1.5或1.25都是原方程的根。

例4. 閱讀下面例題的解答過程，體會、理解其方法，并借鑒該例題的解法解方程。例：解方程x2-|x-1|-1=0

解：（1）當(dāng)x-1≥0即x≥1時，|x-1|=x-1，

原方程化為x2-（x-1）-1=0，即x2-x=0，

解得x1=0，x2=1，

∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解；

（2）當(dāng)x-1<0即x<1時，|x-1|=-（x-1），

原方程化為x2+（x-1）-1=0，即x2+x-2=0，

解得x1=1，x2=-2，

∵x<1，故x=1舍去，x=-2是原方程的解，

綜上所述，原方程的解為x1=1，x2=-2。

解方程：x2+2|x+2|-4=0。

解答：材料采用的是零點分段法，進行分類討論

當(dāng)x，原方程化為x2+2x=0，解得x=0或-2；

當(dāng)x原方程化為x2-2x-8=0，解得x=-2或4，都舍去。

綜上，原方程解為：x=0或-2。

分段討論時，不在分段范圍內(nèi)的解要舍去。

例5、下面的四個結(jié)論，回答問題．

①x2-3x+2=0的兩根為x1=1，x2=2；

②（x-1）（x-2）=0的兩根為x1=1，x2=2；

③（x-1）（x-2）=x2-3x+2；

④二次三項式x2-3x+2可分解為（x-1）（x-2）．

猜測:若關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為x1=3，x2=-4，則二次三項式x2+px+q可分解為______．

應(yīng)用:在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

（1）2x2-4x+2

（2）x2-x-1

（3）x2-2x-2

解答：這個題目反映了因式分解和解方程之間的關(guān)系：

（1）通過因式分解，我們可以把高次方程逐步降次為多個一元一次方程或一元二次方程，然后求解；

（2）反過來，我們可以通過解方程的方法求出解a或b，那么x-a或x-b就是原多項式的因式。

（3）解高次方程的過程中，我們就可以通過（2）中試根法，逐步降次，解高次方程。這兩個步驟是相互相成的。

【猜測】x2+px+q=(x-3)(x+4)

【應(yīng)用】

（1）令2x2-4x+2=0，則x1,2=1；原式=K（x-1）2,令x=2，解得k=2，原式=2（x-1）2；注意這個系數(shù)k，下面直接出結(jié)果。

x2-x-1=0，則x1=-1,x2=3,因此，原式=（x+1）（x-3）

（3）令x2-2x-2=0，則用公式法：x=1，原式=（x-1-）(x-1+).

例6、已知關(guān)于x的方程kx2+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0（2）有兩個實數(shù)根y1和y2

（1）當(dāng)k為整數(shù)時，確定k的值；

（2）在（1）的條件下，若m＞-2，用關(guān)于m的代數(shù)式表示y12+y22

解答：

（1）全部整數(shù)解的題型相對簡單，可以通過求出解進行分析。這個是慣用思路。

若k=0，則x=-1，滿足條件；

若k通過因式分解法（x+1）(kx+k-1)=0或公式法，可以得x1=-1,x2=-1+1/k；

-1+1/k是整數(shù)，那么k就只能是；

又因為（2）式是一元二次方程，所以k只能為0或-1.

（2）當(dāng)k=0時；

關(guān)于y的方程：y2+3y-m=0,方程的判別式要求大于0，有兩個實根。

y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(-3)2-2(-m)=9+2m;

此時△=9+4m≥0，即m≥-

所以m＞-2。

當(dāng)k=-1時，關(guān)于y的方程2y2+3y-m=0，方程的判別式大于0，有兩個實根

y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=(-3/2)2-2(-m/2)=;

此時△=9+8m，即m≥-.

四、練一練

1、解方程。

（1）(2x-1)2=9;

（2）(x+4)2=5(x+4);

（3）6x2-13x+6=0;

（4）(x+7)(x+3)+(x-1)(x+5)=11.

2、已知關(guān)于x的一元二次方程(k+4)x2+3x+k2+3k-4=0的一個根是0，求k的值。

3、已知(x2+y2-5)2=49,求x2+y2。

4、解方程：x2-x-1=(x+1)0。

5、已知實數(shù)m，n滿足m-n2=1，求m2+2n2+4m-1的最小值。

6、先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+m+4的最小值；（2）求代數(shù)式4-x2+2x的最大值；（3）某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設(shè)AB=x（m），請問：當(dāng)x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？