關(guān)于用算術(shù)方法研究圖形的歷史可以追溯到古埃及，古巴比倫以及古代中國(guó)。因?yàn)槿粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐的需要，人們從土地測(cè)量開(kāi)始，后來(lái)又發(fā)明了面積，體積的計(jì)算方法，發(fā)明了研究三角形邊角關(guān)系的有力工具三角函數(shù)。特別是在這個(gè)過(guò)程中，人們研究了兩個(gè)重要的問(wèn)題，這對(duì)后來(lái)坐標(biāo)系的建立起到了至關(guān)重要的作用：一個(gè)是發(fā)明了地球表面上和空間星座中的經(jīng)緯線(xiàn)，用經(jīng)緯線(xiàn)來(lái)確定點(diǎn)的位置，另一個(gè)是研究了平面上滿(mǎn)足某些條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

古巴比倫人和古代中國(guó)人都利用了數(shù)字12發(fā)明了被稱(chēng)為黃道的坐標(biāo)系，用來(lái)確定夜空中星座的位置。在地球表面，據(jù)說(shuō)是亞里士多德第一個(gè)發(fā)明了確定位置的辦法，他發(fā)現(xiàn)越接近赤道越熱，越靠近北極越冷，于是他建議在地球上按南北方位劃分五個(gè)氣候區(qū)域，并稱(chēng)這樣劃分的線(xiàn)為緯線(xiàn)。后來(lái)，在亞歷山大圖書(shū)館從事研究的托勒密在他的8卷本的《地理學(xué)》中提出，繪制地圖不僅需要維度也需要經(jīng)度，為了把地球的位置平面化，他設(shè)計(jì)了扇形的經(jīng)緯線(xiàn)，繪制出著名的“托勒密地圖”，雖然這個(gè)地圖并不實(shí)用。

談到運(yùn)動(dòng)軌跡的研究，就必然要涉及古希臘學(xué)者關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的研究。據(jù)說(shuō)，古希臘學(xué)者熱衷于研究圓錐曲線(xiàn)是與倍立方問(wèn)題有關(guān)，或者與日晷有關(guān)，日晷是古代的一種利用日影定時(shí)的儀器。圓錐曲線(xiàn)研究的集大成者是亞歷山大圖書(shū)館的學(xué)者阿波羅尼奧斯（約公元前262-約前190），他的巨著《圓錐曲線(xiàn)論》對(duì)后世產(chǎn)生了很大的影響，并啟發(fā)笛卡爾發(fā)明了直角坐標(biāo)系。這部巨著共分8卷，含487個(gè)命題，前4卷是基礎(chǔ)部分，后四卷是拓展，但最后一卷遺失了?！秷A錐曲線(xiàn)論》這部書(shū)的思想非常深刻，但因?yàn)闆](méi)有更多地使用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式，特別是沒(méi)有給出用于直觀解釋的圖形，使人難以理解，現(xiàn)在書(shū)中的圖形大多是后人根據(jù)書(shū)中的闡述補(bǔ)加的。

與歐幾里得的《原理》一樣，《圓錐曲線(xiàn)論》開(kāi)宗明義給出了書(shū)中要討論對(duì)象的定義，但阿波羅尼奧斯遠(yuǎn)沒(méi)有歐幾里得表達(dá)得清晰。關(guān)于圓錐的定義，參見(jiàn)圖（1）

我們歸納如下：

對(duì)于給定圓心為O的圓，及圓所在平面外的一點(diǎn)A，連接點(diǎn)A與圓周上任意一點(diǎn)B，并向兩端延長(zhǎng)得到一條直線(xiàn)，稱(chēng)這條直線(xiàn)為母線(xiàn)。以固定點(diǎn)A為軸心，令母線(xiàn)沿圓周轉(zhuǎn)動(dòng)一圈回到點(diǎn)B，則母線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就得到兩個(gè)曲面，稱(chēng)之為圓錐曲面。稱(chēng)A為圓錐的頂點(diǎn)，給定的圓為圓錐的底；如果AO垂直于底，稱(chēng)這個(gè)圓錐為直圓錐，否則稱(chēng)為斜圓錐。

如果用一個(gè)平面去截這個(gè)圓錐，因?yàn)槠矫媾c母線(xiàn)之間的夾角不同在圓錐曲線(xiàn)上可能截出不同的曲線(xiàn)，但就類(lèi)型而言，可以得到三種曲線(xiàn)，統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)。如果平面只與兩個(gè)曲面的一個(gè)相交，那么分兩種情況：平面與曲面截出一條開(kāi)放曲線(xiàn)，即平面與母線(xiàn)都相交，則稱(chēng)這條曲線(xiàn)為拋物線(xiàn)。如果平面與兩個(gè)曲面都相交，那么，平面與曲面截出兩條對(duì)稱(chēng)的開(kāi)放曲線(xiàn)，則稱(chēng)這兩條曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)。這三種圓錐曲線(xiàn)的名字都是阿波羅尼奧斯給出的，沿用至今。其中，橢圓英文為ellipse，源于希臘語(yǔ)ελλετΨ?，意為“不足”“缺乏”，可以直譯為“虧曲線(xiàn)”；雙曲線(xiàn)英文為hyperbola，源于希臘語(yǔ)νπερβоλη，意為“優(yōu)越”“超越”，亞里士多德曾經(jīng)用過(guò)這個(gè)詞，指天體與地平線(xiàn)的角距，在這里可以直譯為“盈曲線(xiàn)”；拋物線(xiàn)英文為parabola，源于希臘語(yǔ)παραβоλη，意為“并列”“相對(duì)照”柏拉圖曾經(jīng)用過(guò)這個(gè)詞，指兩個(gè)天體處同一經(jīng)線(xiàn)，在這里可以直譯為“齊曲線(xiàn)”。

阿波羅尼奧斯給出了這三種圓錐曲線(xiàn)的方程，我們知道，要把曲線(xiàn)的方程闡述清楚就必須利用坐標(biāo)。下面以橢圓為例進(jìn)行說(shuō)明，這是在《圓錐曲線(xiàn)論》第1卷中命題13所討論的，我們用現(xiàn)代語(yǔ)言和符號(hào)來(lái)闡述。設(shè)橢圓曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x和y（書(shū)中沒(méi)有明確給出坐標(biāo)的定義，但已經(jīng)明確地利用了坐標(biāo)地思想），利用平行線(xiàn)和相似三角形地性質(zhì)，可以得到下面的方程

y²=px-px²/2a (1)

其中，p為焦距，a為橢圓長(zhǎng)軸的一半。阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線(xiàn)論》第3卷中又專(zhuān)門(mén)討論了橢圓和雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的性質(zhì)，得知p=2b²/a，其中b為橢圓短軸的一半。代入（1）式可以得到

y²/b²=2x/a-x²/a² (2)

注意到，阿波羅尼奧斯得到上述結(jié)論，是把坐標(biāo)的原點(diǎn)設(shè)定在橢圓的長(zhǎng)軸的一端，如果把坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定在長(zhǎng)軸的中心，即把x變?yōu)閤+a，則（2）式為

y²/b²=2(x+a)/a-(x+a)²/a²

整理以后就可以得到現(xiàn)代數(shù)學(xué)教科書(shū)中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x²/a²+y²/b²=1

阿波羅尼奧斯得到的雙曲線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程分別為

y²=px+px²/2a (3)

和

y²=px (4)

利用上面處理橢圓方程的方法，可以類(lèi)似地得到現(xiàn)代意義上的雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。我們把（1）式和（3）式分別與（4）式比較，就可以知道阿波羅尼奧斯為什么把橢圓曲線(xiàn)叫做虧曲線(xiàn)，把雙曲線(xiàn)叫做盈曲線(xiàn)，把拋物線(xiàn)叫做齊曲線(xiàn)。

下面，我們進(jìn)一步討論橢圓曲線(xiàn)。在現(xiàn)代的教科書(shū)中關(guān)于橢圓的定義為：

平面上，到兩個(gè)點(diǎn)的距離之和為一個(gè)常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

這個(gè)定義是1579年，由意大利數(shù)學(xué)家蒙地（1545-1607）給出的，事實(shí)上，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線(xiàn)論》中已經(jīng)證明了這個(gè)結(jié)果。

比利時(shí)數(shù)學(xué)家丹德林（1794-1847）利用兩個(gè)球給出了上述命題的一個(gè)非常直觀的證明，后來(lái)人們稱(chēng)其為丹德林球。如圖（2）所示

在一個(gè)正圓錐中先放入一個(gè)小球，設(shè)這個(gè)小球與圓錐面相切得到的圓為ω；然后斜放入一個(gè)平面，設(shè)這個(gè)平面與圓錐面相交得到的曲線(xiàn)為α,同時(shí)，與小球的切點(diǎn)為O；最后放入一個(gè)大球，設(shè)這個(gè)大球與圓錐面相切得到的圓為ω’，與斜平面的切點(diǎn)為O’。很顯然，圓ω所在平面與圓ω’所在平面是平行的。在曲線(xiàn)α上任取一點(diǎn)C，因?yàn)榍蛲庖稽c(diǎn)到球的切線(xiàn)均相等，因此CA=CO,CB=CO’，即點(diǎn)C到兩個(gè)切點(diǎn)O和O’的距離之和總為一個(gè)常數(shù)，因此曲線(xiàn)α為一個(gè)橢圓，O和O’為焦點(diǎn)。

在上面的討論中我們已經(jīng)看到了解析幾何的影子，但真正引發(fā)笛卡爾開(kāi)始思考坐標(biāo)系的是所謂“3條或4條直線(xiàn)的軌跡”的問(wèn)題，阿波羅尼奧斯《圓錐曲線(xiàn)論》的第3卷的后半部分專(zhuān)門(mén)討論了這個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題可以描述如下：

“在平面上給定三條直線(xiàn)，令一動(dòng)點(diǎn)到其中一條直線(xiàn)距離的平方，與到另外兩條直線(xiàn)距離的積成正比，求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡”

如果給定的是四條直線(xiàn)，那么，把到一條直線(xiàn)距離的平方改為到兩條直線(xiàn)距離的積。阿波羅尼奧斯用幾何的方法研究了這個(gè)問(wèn)題，證明了這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線(xiàn)，并為自己能得到這個(gè)結(jié)論而感到驕傲，他的那本名著的序言中說(shuō)：

“第3卷包含許多......令人不可思議的和最完美的定理，其中絕大部分都是新的，而且當(dāng)我們掌握這些時(shí)便知道，歐幾里得未曾作出的三線(xiàn)和四線(xiàn)軌跡，只有它的偶然的部分才被不很愉快地解出，因?yàn)闆](méi)有我們所發(fā)現(xiàn)地事實(shí)它們就不可能被圓滿(mǎn)解出”

幾百年后，亞歷山大圖書(shū)館晚期地?cái)?shù)學(xué)家帕斯（約300-350）把這個(gè)問(wèn)題推廣到四條以上直線(xiàn)和任意給定角，后來(lái)人們稱(chēng)這樣的問(wèn)題為帕斯問(wèn)題。笛卡爾對(duì)帕斯問(wèn)題很感興趣，正是在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中笛卡爾萌發(fā)了建立坐標(biāo)系的構(gòu)想，最終發(fā)明了解析幾何。