精密計算圓周率的第一人

——天算學家、制造家祖沖之

在中華歷史人物長廊中，“祖沖之”是個人人皆知的閃光名字，他對圓周率的精確計算，以及對天體運行的研究、歷法的編制都達到了登峰造極的高度。另外他的兒子祖暅在求體積方面也取得了重大成果，在這篇小文中我們將一并介紹。

祖沖之（公元429-500年），字文遠，是南北朝時期杰出的數(shù)學家、天文學家和機械制造家。他祖籍為范陽郡遒縣（今河北淶源），但他出生于建康（今南京），因為他的祖父一直在南朝的宋朝政府里做官，負責建筑工程。而且，祖家歷代對于天文歷法都很有研究，由于家庭的影響，祖沖之從小就有接觸科學技術(shù)的機會。早在青年時期，他就有了博學多才的名聲，被政府派到學術(shù)研究機關(guān)——華林學省去做研究工作。后來他又在南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）、婁縣（今江蘇昆山）擔任地方官職，這期間，他編制了《大明歷》這部當時最精密的歷法，推算出準確到六位小數(shù)的圓周率，取得了當時世界上最優(yōu)秀的成績。

宋朝末年，祖沖之回到建康在中央政府任職。齊代宋而立之后，他繼續(xù)在齊朝做官。他官職一直不高，最高僅為4品，仕途上也沒什么作為。后期，他又把主要興趣轉(zhuǎn)向機械制造，重造指南車，發(fā)明千里船、水碓磨等等。由于當時齊朝內(nèi)亂、北魏進攻，邊疆戰(zhàn)火連綿，他寫有《安邊論》一文，建議朝廷開墾荒地，發(fā)展農(nóng)業(yè)，鞏固國防，但他的建議沒能實現(xiàn)，72歲那年，祖沖之就去世了。

一．“祖率”的等待

在所有的簡單幾何圖形中，我們的祖先最早認識的可能是圓，因為天上的太陽、月亮都是“圓”概念的最好樣本。先人也很早就意識到，要想用手畫出一個完美的圓來，實在是不容易，甚至是不可能的，直到他們發(fā)現(xiàn)，圓都有一個圓心，圓心到圓周上任一點的距離都是相等的，這樣就發(fā)明了圓規(guī)，畫圓就成了一件輕而易舉的事了。

但是還有一件事總在困擾著人們，那就是求圓的周長。我們知道，由直線組成的幾何圖形的周長是很好求的：只要把各邊的長度用尺子量出，加起來就行了。但求圓的周長不能用這種辦法，圓周是彎曲的，直尺無法與其吻合，而且大圓、小圓彎曲程度不一樣，我們無法造許多彎尺子來量這些大大小小的圓。不過古人發(fā)現(xiàn)，如果用繩子繞圓（如一段圓木）一圈，再把繩子拉直去量它的長度，那么它總是圓直徑的3倍。而且對于所有的圓，這個比值是固定的，所以人們求圓的周長就用圓的直徑乘以3來求得。

這個圓直徑與周長的比就叫“圓周率”，上古的人們在實際應用時，一直就把它當作3，東漢時期官方還明文規(guī)定圓周率取3為計算圓周長、面積的標準。但那些肯思考的學者知道這是不準確的，因為用一個圓輪子在一根直尺上滾一圈，就會發(fā)現(xiàn)這一圈總是稍稍大于直徑的3倍。

但是怎樣求出圓周率的精確數(shù)值，卻不是靠拉繩子或轉(zhuǎn)輪子這些具體的操作就能解決的，必須借助于嚴格的數(shù)學推導。西漢末年的劉歆首先懷疑“古率”3不精確，他采用的圓周率是3.1547——這是我們今天根據(jù)西漢的量具實物，反推出來的，不知劉歆是如何得到的這個數(shù)。東漢時張衡則認為圓周率＝10的平方根（約為3.16）。

三國劉徽得到的圓周率是3.14，他的推導方法史書有明確記載。他用的是“割圓術(shù)”，大致程序是：先作一個圓，再在圓內(nèi)作一個內(nèi)接正六邊形。假設這圓的半徑是l，很容易證明：圓內(nèi)接正六邊形的邊長恰好等于圓半徑1，所以這個正六邊形周長就是6。若把這正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑2去除，得到周長與直徑的比為3。顯然，圓內(nèi)接正六邊形的周長是小于圓周長的，所以圓周率一定大于3。為求出盡可能精確的圓周率，劉徽想出一個絕妙的辦法，他從這個正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，使它越來越像那個圓，這樣一直計算到內(nèi)接正九十六邊形，求得了圓周率是3.1410。他這種計算方法，實際上已跨入了近代數(shù)學中的“極限方法”門坎。

到祖沖之這里，他對這個問題極感興趣，一連思考了許多年。他想，這個“圓周率”的精確數(shù)到底是多少呢？我一定要找出來。只要把圓畫得大大的、把正多邊形的邊分得多多的、不厭其煩地算下去，一定能得出個精確數(shù)。這時他已人過中年，正任地方官。他叫人把自家客廳的地板刨得光光的，在上畫一個半徑一丈的大圓，將圓分成6等分、12等分、24等分……，依次作出圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形……每一步，他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方的式子，一一求出多邊形的邊長和周長。那時還沒有珠算，也沒有現(xiàn)在帶＋－×÷方式的筆算，全用一些幾寸長的小竹棍——算籌，按規(guī)則擺來擺去進行計算，稍有差錯或碰亂了就得從頭來。祖沖之不是像劉徽那樣只算到內(nèi)接正九十六邊形，而是一口氣算到24576邊形。每一步，就需要對9位小數(shù)進行加、減、乘、除和開方等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復十幾次，開方運算有50次，最后計算出的數(shù)字達到小數(shù)點后十六、七位。今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事?？梢韵胂?，在1500多年前的南朝時代，一位中年人在做官之余，每天晚上昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經(jīng)常地重新擺放鋪滿一大片地板的算籌，該是一件多么艱辛的事情，幸虧有聰明伶俐的兒子祖暅在一邊幫忙，才使工作順利進行下去。當父子倆把大圓割到24576份，無法再割時，得出的圓周率是3.1415926。與此同時，他也作了同樣多的圓外切正多邊形，算出的圓周率是3.1415927——實在無法再往下算了，因為這24576邊形的邊已經(jīng)短得快成了一個點了。祖沖之決定就此住手，在紙上記下：圓周率在3.1415926和3.1415927之間。

祖沖之得到這個結(jié)果，既高興，又沮喪。高興的是這個數(shù)字達到這么多位，遠遠超出劉徽的結(jié)果，沮喪的是算了好久，還是沒有得出精確的數(shù)（近代數(shù)學證明，圓周率是個無理數(shù)）。中國古代習慣使用分數(shù)，祖沖之就用兩個分數(shù)值表示圓周率，一個是22/7，約等于3.14，稱“約率”；另一個是355/113，約等于3.1415929，稱“密率”。

歷史上的事大都是發(fā)生在先，被理解在后?？墒?，世界理解祖沖之卻足足等了1000多年。原來，在中國后來的1000多年里，無人再做過超越祖沖之計算圓周率的事，甚至都無人再關(guān)心此事，后來的天文、數(shù)學、計量的圓周率值，都是3.14甚至3，連郭守敬這樣的大歷算家，圓周率竟然也用3——簡直是偉大天才光芒中的一道弱智黑影。明清時代圓周率大都用10的平方根。阿拉伯和西方的數(shù)學知識傳入我國之后，國人知道了15世紀阿拉伯的阿爾·卡西和1593年法國的維葉特，求出了圓周率在3.1415926和3.1415927之間。可是我們一查《隋書》，祖沖之早在他們1000多年之前就作出了同樣的發(fā)現(xiàn)！

而且祖沖之提出的“密率”（355/113），在1000年多后才由荷蘭人安托尼茲重新提出，在西方一直被稱作“安托尼茲率”。毫無疑問，它的公正名稱應該叫“祖率”。

鏈接：圓周率π被證明是無理數(shù)之后，更引來了求π后面小數(shù)位數(shù)的競賽，目前用高速的計算機，可以把π求到上萬億位，而且這個記錄還在不斷被突破。超過20位的π已無實用價值，因為帶10位小數(shù)的π就足以使地球周長準確到一厘米，30位小數(shù)便能使整個可見宇宙的周長準確到1微米以下。但是，求π后面更多小數(shù)位數(shù)是一個時代數(shù)學、計算技術(shù)進步的尺度標志，所以人們都在努力求出π后面小數(shù)更多的位數(shù)。那么是不是隨著技術(shù)的進步、計算方法的改善，我們就可以求出任意大π的位數(shù)？不是的，當我們求出的π的位數(shù)把地球上所有的紙、所有的存儲單元都占滿時，甚至地球、已知宇宙的每一粒原子都得用來存放一位π的數(shù)時，顯然我們就無法往下算了。

二．《綴術(shù)》和“祖暅原理”

祖沖之與張衡一樣，是一位遠遠超越時代的人。他把他多年數(shù)學研究的成果，寫成《綴術(shù)》五卷，這一定是一部艱深的數(shù)學著作，《隋書》中曾提到，稱“學者們無人能了解其精奧，因此被置之不理”，以至于后來失傳。唐代國子監(jiān)曾把《綴術(shù)》列為高等算學課本。最晚到北宋時期，還有人拿《綴術(shù)》當草稿紙練字，再以后就見不到了。幸虧他求出的圓周率另被保存在《隋書》中，否則，祖沖之求出圓周率的偉大事業(yè)就徹底被歷史遺忘了。這種被埋沒的成就古代不知還有多少！

祖沖之去世后，祖暅繼續(xù)父親的研究，進一步發(fā)現(xiàn)了計算球體積的方法。

在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中，曾有計算球體積的公式，但很不準確。劉徽指出過它的錯誤，但究競應當怎樣計算，他也沒能解決。經(jīng)祖暅鉆研，終于找到了正確的計算方法。他所推算出的計算球體積的公式用今天的寫法是：球體積（D為球直徑）?，F(xiàn)在我們依然用這個公式求球的體積。

祖暅尋找球體積計算公式中，還發(fā)現(xiàn)一個重要原理：“截面積都相等的兩個幾何體的體積必相等”。換成通俗的話，可以這樣記：

兩個胖子一般高，

平行地面做CT ，

每片面積都相等，

兩人必定同體積。

直到1100多年后，意大利數(shù)學家卡瓦利里才提出類似的原理，在西方一直被稱為“卡瓦列利”原理，但我們可以理直氣壯地叫它“祖暅原理”。

三．《大明歷》

假如祖沖之在推算圓周率方面的工作被歷史遺忘的話，他仍然會是一位杰出的歷史人物，因為他在天文學方面的許多貢獻都被寫入史書，是不可能被人們遺忘的。

祖沖之看到前人的歷法有一些疏漏，便決心編制一部新的歷法。首先他作了大量觀測，發(fā)明了日晷測影的“對稱法”，可以測得非常精確的冬至時刻，由此求出一回歸年的長度是365.2428天，與現(xiàn)在推算值只差50秒左右，這個數(shù)據(jù)一直用到南宋。他測定的朔望月長度為29.5305915日，與真值僅差0.5秒。

我們知道，朔望月的十二個月比陽歷一年要短10天左右，為了保證農(nóng)歷的一年與陽歷的一年同步，必須每過3年左右就在十二個朔望月之間增加一個月，稱“閏月”。從上古開始，我國歷法家一直采用的是“十九年七閏”周期，即：19個農(nóng)歷年中要插入7個朔望月。但這過于粗糙，公元412年，北涼趙（匪欠）認為在600中插入221個閏月，才更合理，但沒有引起當時人的注意。祖沖之利用他得出的精確的回歸年、朔望月長度，提出391年144閏，達到非常精確的程度。

祖沖之還破天荒第一次把“歲差”引入歷法。過去天文家認為在赤道坐標中，冬至點、春分點等都是固定的，即使發(fā)現(xiàn)有變，也以為是前人測得不準，到東晉初年，天文學家虞喜才發(fā)現(xiàn)，冬至點是以每50年一度的速度均勻向西后退的（古希臘的喜帕恰斯更早就發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，定出是每100年一度，實際現(xiàn)代值是71.7年一度）。其原因我們現(xiàn)在知道，是日月對地球赤道凸起部分的附加吸引使地球自轉(zhuǎn)軸在空中“畫圈”造成的。祖沖之在他制作的《大明歷》中引入了歲差，這樣歷法當然就更精密了。用不過他求得的歲差值不太準，約46年退一度。

另外祖沖之還對用于求日月食周期的“交點月”、五大行星的會合周期等都作了更精確的推算。根據(jù)上述的研究成果，修成了當時最科學、最進步的歷法——《大明歷》。

公元462年（宋大明六年），33歲的祖沖之把《大明歷》獻給政府，請求公布實行。聽到有不少反對意見后，宋孝武帝決定讓懂得歷法的官員對進行討論。討論中，皇帝的親信權(quán)臣戴法興極力反對《大明歷》，朝廷大小官員也都隨聲附和。

雖然戴法興居高臨下，但祖沖之年青氣盛，發(fā)現(xiàn)戴法興的駁難大都是虛張聲勢，根本不怕，針鋒相對地據(jù)理力爭。戴法興說：冬至時，太陽總在固定位置上，這是古圣先賢測定的，萬世不變，你竟說冬至點每年有移動，是誣蔑老天，違背經(jīng)典，十九年七閏的歷法，也是先賢制定，怎么能亂改呢？祖沖之拿出古圣先賢的文獻記載和歷代觀測太陽的記錄，雄辯地證明冬至點是有變動的。他指出：事實十分明白，怎么可以信古而疑今？十九年七閏本不精密，舊的歷法不精確，難道永遠用下去？

在這場大辯論中，許多大臣被祖沖之精辟透徹的理論說服了，于是宋孝武帝決定在大明九年（公元465年）改行新歷。哪知大明八年孝武帝突然死了，接著統(tǒng)治集團內(nèi)發(fā)生變亂，改歷這件事就被擱置起來。在祖暅的努力下，一直到梁朝天監(jiān)九年（公元510年），新歷才被正式采用，可是那時祖沖之已去世十年了。

四．指南車

指南車是中國古代獨有的一項奇特發(fā)明。這是一種用來指示方向的車子。車中裝有機械，車上裝有木人。車子開行之前；先把木人的手指向南方，以后不論車子怎樣轉(zhuǎn)彎，木人的手始終指向南方不變。相傳遠古時代黃帝對蚩尤作戰(zhàn)，就曾使用指南車來辨別方向，還相傳周公也發(fā)明過指南車，看來它曾一次次失傳，又一次次被重新發(fā)明。以后有東漢的張衡、三國時代的馬鈞也發(fā)明過。

公元417年，東晉大將劉裕（也就是后來宋朝的開國皇帝）攻進長安時，獲得了后秦的一輛舊指南車，但車子里面的機件已經(jīng)丟失，車子隨駕出行時，只好在車里藏一個真人，讓他根據(jù)指南針方位來轉(zhuǎn)動木人，使它總指向南方。后來得知祖沖之善于發(fā)明制作，齊高帝蕭道成就令祖沖之重新制造一臺。恰好祖沖之多年來就一直琢磨指南車的原理和構(gòu)造，他經(jīng)過精心推敲和反復測試，成功地設計了內(nèi)部機械裝置，車箱內(nèi)能自動離合的齒輪系統(tǒng)全用銅鑄造，精密度極高。

當祖沖之制造指南車的時候，北朝有一個名叫索馭驎的來到南朝，自稱也會制造指南車，要與祖沖之一比高低。于是蕭道成也讓他制成一輛，在皇宮樂游苑與祖沖之造的指南車比賽。結(jié)果在跑了各種各樣的路線之后，索馭驎所制指南車的木人指向早已失靈，祖沖之的指南車卻運轉(zhuǎn)自如，木人卻始終牢牢指向南方，觀者無不心悅誠服。索馭驎也只得甘拜下風，回去就把自己的指南車劈掉了。

當然，祖沖之制造的指南車，也還是失傳了，我們現(xiàn)在看到的能運轉(zhuǎn)的指南車，都是帶專利的現(xiàn)代發(fā)明。

據(jù)說春秋時期，有一直器皿叫“欹器”，孔子非常欣賞。它空著的時候，是立不起來的，盛了一半水以后，就可以把它豎立起來，如果水滿了，它又會倒向一邊——欹器是古人用來警誡人們不要無知、也自滿的器具。這種器具，晉朝的學者杜預曾試制三次，都沒有成功；祖沖之卻仿制成功了，并把它送給齊武帝的第二個兒子蕭子良。由此可見，祖沖之對各種機械用具都有深刻的研究。

祖沖之也制造了很有用的勞動工具。他看到百姓舂米、磨粉很費力，就發(fā)明了一種糧食加工工具，叫作水碓磨。把用水力舂米的水碓和磨粉的水磨結(jié)合起來，大大提高了生產(chǎn)效率。這種加工工具，現(xiàn)在我國南方有些農(nóng)村還在使用著。祖沖之還設計制造過一種船。它可能是利用輪子激水前進的原理造成的，一天能行一百多里。此外歷史記載祖沖之精通音律，擅長下棋，還寫有小說《述異記》。他的著述很多，但大多都已失傳。

為了紀念祖沖之的功績，人們將小行星1888命名為“祖沖之小行星”，將月球背面的一環(huán)形山命名為“祖沖之環(huán)形山”，因為他曾算得朔望月的極精確數(shù)據(jù)，憑這一點他作為“月球榮譽公民”應該是當之無愧了。

鏈接：祖暅又叫祖暅之，這樣有一個奇特的現(xiàn)象：祖沖之的曾祖父叫祖臺之，父親叫祖朔之，兒子叫祖暅之，祖氏簡直代代都和“之”字結(jié)下不解之緣。