——形成精準思維模式，快速解題

eq \a\vs4\al(◆)類型一　利用'三線合一'作輔助線

一、已知等腰作垂線(或中線、角平分線)

如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于點E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，則BC＝________.

2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且AE＝AF.求證：DE＝DF.

3．如圖，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于點D，E是AD上一點，且EA＝EC，連接EB.求證：EB⊥AB.

二、構造等腰三角形

4．如圖，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于點P，連接CP.若△PBC的面積為2，則△ABC的面積為( )

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E.求證：BD＝2CE.

eq \a\vs4\al(◆)類型二　巧用等腰直角三角形構造全等

6．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中點，DE⊥DF，點E，F分別在AC，BC上．求證：DE＝DF.

eq \a\vs4\al(◆)類型三　等腰(邊)三角形中截長補短或作平行線構造全等

7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于點D.求證：BC＝AB＋CD.

8．如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連接PQ交AC于點D.

(1)求證：PD＝DQ；

(2)若△ABC的邊長為1，求DE的長．【方法8】

參考答案與解析

1．4

2．證明：連接AD.∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.

3．證明：過點E作EF⊥AC于點F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝eq \f(1,2)AC.∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.

4．B

證明：如圖，延長BA和CE交于點M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC＝eq \f(1,2)MC.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE.

6．證明：連接CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中點，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.

證明：如圖，在線段BC上截取BE＝BA，連接DE.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝eq \f(1,2)×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.

8．(1)證明：過點P作PF∥BC交AC于點F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等邊三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.

(2)解：由(1)知△APF是等邊三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝eq \f(1,2)AF＋eq \f(1,2)CF＝eq \f(1,2)AC.又∵AC＝1，∴DE＝eq \f(1,2).