作為一個(gè)工程師，很多人對(duì)隨機(jī)振動(dòng)看著熟悉，卻又實(shí)際陌生。熟悉是因?yàn)閹缀趺總€(gè)產(chǎn)品在出廠時(shí)都要求要做隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)，陌生是因?yàn)楫?dāng)面對(duì)用戶所給的功率密度譜有時(shí)會(huì)感到很茫然，尤其是這個(gè)功率譜的單位居然是g^2/Hz ，簡直是反人類，為啥整這么麻煩，不能給個(gè)加速度g直接振嗎？哈哈，這個(gè)還真不能，下面咱們就來抽絲剝繭，看看隨機(jī)振動(dòng)功率密度譜到底是咋個(gè)回事？

隨機(jī)振動(dòng)，是因?yàn)檎駝?dòng)源是隨機(jī)信號(hào)，顧明思議，就是信號(hào)的發(fā)生帶有隨機(jī)性，無法用一個(gè)明確的函數(shù)把它表達(dá)出來，一個(gè)典型的隨機(jī)信號(hào)大概長這個(gè)樣子：

可以看出，乍一看完全沒有規(guī)律可言，高度不規(guī)則，無規(guī)律的，不可預(yù)估也不可重復(fù)，每次測量都不一樣。那隨機(jī)信號(hào)是不是就是不可描述的呢？我們不防先研究一下什么是隨機(jī)：

隨機(jī)對(duì)應(yīng)不確定性，不確定性在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上是一個(gè)不受歡迎的詞，老板問你圖紙什么時(shí)候畫完，你敢回答“隨機(jī)吧”，或者更佛系一點(diǎn)“隨緣吧”？相信等待你的可不僅僅是白眼哦，這也是為啥當(dāng)初波恩將概率解釋引入到量子力學(xué)時(shí)受到愛因斯坦強(qiáng)烈的反對(duì)，“上帝是不擲骰子”的典故便來源于此。然后諸多證據(jù)表明：也許隨機(jī)是這個(gè)世界的本質(zhì)特性之一，這可以由一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理來證明：中心極限定理。

中心極限定理有一組，但基本可以用一句通俗的話來概括它們：大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其平均值正態(tài)分布。對(duì)中心極限定理最形象的解釋是高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)：小球在下落過程中碰到很多個(gè)釘子，每次碰撞都是一個(gè)二項(xiàng)式的隨機(jī)過程：以同等的概率通過釘子左側(cè)或者右側(cè)，小球最后到達(dá)的位置，是這很多個(gè)“左右”隨機(jī)變量相加后的平均位置。不難看出，這個(gè)平均值落在中心處的概率最大，小球聚集最多，但也可能向左或向右偏，偏離越大，小球的數(shù)目越少，不同位置的不同小球數(shù)便形成了一個(gè)“分布”，中心極限定理則是從數(shù)學(xué)上證明了，這個(gè)分布的極限是正態(tài)分布。

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高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)實(shí)質(zhì)上是一組二項(xiàng)式分布，從數(shù)學(xué)上還可以證明：中心極限定理的條件可以從二項(xiàng)分布推廣到獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，以及不同分布的隨機(jī)序列。也就是說：在一定條件下，各種隨意形狀概率分布生成的隨機(jī)變量，它們加在一起的總效應(yīng)，是符合正態(tài)分布的。這也是為啥正太分布這么常見的原因，因?yàn)閷?shí)際上的隨機(jī)生物過程或物理過程，都不是只由一個(gè)單獨(dú)的原因產(chǎn)生的，它們受到各種各樣隨機(jī)因素的影響。比如產(chǎn)品加工免不了有誤差，而誤差形成的原因五花八門，各種各樣。就算我們打開上帝視角，夠分別清楚產(chǎn)生誤差的每種單一原因，誤差的分布曲線可能不是高斯的，但是，所有誤差加累計(jì)在一起時(shí)，通常得到一個(gè)正態(tài)分布。下圖是30組隨機(jī)變量，和值隨數(shù)據(jù)增加時(shí)分布情況。

總之，中心極限定理告訴我們：無論引起過程的各種因素的基本分布是什么樣的，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù) 充分大時(shí)，所有這些隨機(jī)分量之和近似是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。也就是說：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，其分布是趨于正太的。

圖片來自科學(xué)網(wǎng)：鐘形曲線—中心極限定理