【例 11】  求所有的質(zhì)數(shù)P，使得4p2+1與6p2+1也是質(zhì)數(shù)．

【解析】           如果 p=5，則4p2+1=101，6p2+1=151都是質(zhì)數(shù)，所以5符合題意．如果P不等于5，那么P除以5的余數(shù)為1、2、3或者4，p2除以5的余數(shù)即等于12、22、32或者42除以5的余數(shù)，即1、4、9或者16除以5的余數(shù)，只有1和4兩種情況．如果p2除以5的余數(shù)為1，那么4p2+1除以5的余數(shù)等于4×1＋1＝4除以5的余數(shù)，為0，即此時4p2+1被5整除，而4p2+1大于5，所以此時4p2+1不是質(zhì)數(shù)；如果p2除以5的余數(shù)為4，同理可知6p2+1不是質(zhì)數(shù)，所以P不等于5，6p2+1與4p2+1至少有一個不是質(zhì)數(shù)，所以只有p=5滿足條件．

【鞏固】            在圖表的第二行中，恰好填上89‐98這十個數(shù)，使得每一豎列上下兩個因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3． 

【解析】            因為兩個數(shù)的乘積除以11的余數(shù)，等于兩個數(shù)分別除以11的余數(shù)之積．因此原題中的89‐98可以改換為1-10，這樣上下兩數(shù)的乘積除以11余3就容易計算了．我們得到下面的結(jié)果：

進(jìn)而得到本題的答案是：

【例 12】  一個大于1的數(shù)去除290，235，200時，得余數(shù)分別為a,a+2,a+5，則這個自然數(shù)是多少？

【解析】           根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除290，233，195時，得到相同的余數(shù)（都為a）．既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余0．那么這個自然數(shù)是290-233=57的約數(shù)，又是233-195=38的約數(shù)，因此就是57和38的公約數(shù),因為57和38的公約數(shù)只有19和1，而這個數(shù)大于1，所以這個自然數(shù)是19．

【鞏固】           一個大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個自然數(shù)是多少？

【解析】           這個自然數(shù)去除90、164后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除90+164=254后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是254-220=34的約數(shù)，又大于10，這個自然數(shù)只能是17或者是34．如果這個數(shù)是34，那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是22、28、16，不符合題目條件；如果這個數(shù)是17，那么他去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是5、11、16，符合題目條件，所以這個自然數(shù)是17．

【例 13】  甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393．某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍．求A等于多少？

【解析】           根據(jù)題意，這三個數(shù)除以都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來：603÷A=K1……r1,939÷A=K2……r2,393÷A=K3……r3

由于r1=2r1,r2=2r3，要消去余數(shù)r1,r2,r3,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減．

這樣我們先把第二個式子乘以2，使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個式子乘以4．

于是我們可以得到下面的式子：603÷A=K1……r1,(939×2)÷A=2K2……2r1,(393×4)÷A=2K3……4r3 這樣余數(shù)就處理成相同的．最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被A整除．939×2-603=1275,393×4-603=969,(1275,969)=51=3×17.

51的約數(shù)有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗17和51可知17滿足，所以A等于17．

【鞏固】一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是a+5、2a、a，求這個自然數(shù)和a的值.

【解析】將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)：(429-5)×2=848,791、500×2=1000，這樣這些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a，故同余.

將這三個數(shù)相減，得到848-791=57、1000-848=152，所求的自然數(shù)一定是57和152的公約數(shù)，而(57,152)=19，所以這個自然數(shù)是19的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過驗證，當(dāng)這個自然數(shù)是19時，除429、791、500所得的余數(shù)分別為11、12、6，a=6時成立,所以這個自然數(shù)是19，a=6.

【模塊三：余數(shù)綜合應(yīng)用】

【例 14】  著名的裴波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21……這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？

【解析】           斐波那契數(shù)列的構(gòu)成規(guī)則是從第三個數(shù)起每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，由此可以根據(jù)余數(shù)定理將裴波那契數(shù)列轉(zhuǎn)換為被3除所得余數(shù)的數(shù)列：

1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九項和第十項連續(xù)兩個是1，與第一項和第二項的值相同且位置連續(xù)，所以裴波那契數(shù)列被3除的余數(shù)每8個一個周期循環(huán)出現(xiàn)，由于2008除以8的余數(shù)為0，所以第2008項被3除所得的余數(shù)為第8項被3除所得的余數(shù)，為0.

【鞏固】           （2009年走美初賽六年級）有一串?dāng)?shù)：1，1，2，3，5，8，……，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是前兩個數(shù)之和，在這串?dāng)?shù)的前2009個數(shù)中，有幾個是5的倍數(shù)？

【解析】           由于兩個數(shù)的和除以5的余數(shù)等于這兩個數(shù)除以5的余數(shù)之和再除以5的余數(shù)．

所以這串?dāng)?shù)除以5的余數(shù)分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以發(fā)現(xiàn)這串余數(shù)中，每20個數(shù)為一個循環(huán)，且一個循環(huán)中，每5個數(shù)中第五個數(shù)是5的倍數(shù)．由于2009÷5=401……4，所以前2009個數(shù)中，有401個是5的倍數(shù)．