注

思想一：方程思想

例1：如圖所示，由點(diǎn)O引出六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度數(shù)．

【解答】解：設(shè)∠COD=x

∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，

∴∠COF=1/2∠BOC，∠EOD=1/2∠AOD

∵∠EOF=x+∠COF+∠EOD=170°，

∴∠COF+∠EOD＝170°-x

∵x+2∠COF+2∠EOD+90°=360°，

∴x=70°

∴∠COD＝70°．

思想二：轉(zhuǎn)化思想

例2：如圖，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，A、E、C在同一直線上，試求BE和ED的位置關(guān)系，并說明理由．

解：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB

∵AB∥CD，

∴EF∥CD

∴∠DEF=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵∠D=∠2，∴∠DEF=∠2（等量代換）

同理，∵EF∥AB，∠1=∠B

∴∠BEF=∠1

∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°（平角定義）

∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°，

∴BE⊥ED

思想三：數(shù)形結(jié)合思想

例3：如圖，直線AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF+∠BMN＝180°．試說明：AB∥CD，MP∥NQ．

【分析】利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和已知條件得出∠BMN+∠MND＝180°，進(jìn)而得出AB∥CD；利用平行線的性質(zhì)得出∠BMN＝∠DNF，進(jìn)而得出∠PMN＝∠QNF，即可得出答案．

【解答】證明：∵∠CNF+∠BMN＝180°，∠CNF＝∠MND，

∴∠BMN+∠MND＝180°，

∴AB∥CD；

∴∠BMN＝∠DNF，

∵∠1＝∠2，

∴∠PMN＝∠QNF，

∴MP∥NQ．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．

思想四：分類討論思想

例4：如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D，P為直線l3上一點(diǎn)，A、B分別是直線l1、l2上的不動(dòng)點(diǎn)．其中PA與l1相交為∠1，PA、PB相交為∠2，PB與l2相交為∠3．

（1）若P點(diǎn)在線段CD（C、D兩點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，問∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是什么？這種關(guān)系是否變化？

（2）若P點(diǎn)在線段CD之外時(shí)，∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系有怎樣？說明理由．

【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE∥l2，故可得出∠1＝∠APE，∠3＝∠BPE．再由∠2＝∠APE+∠BPE即可得出結(jié)論；

（2）由于點(diǎn)P的位置不確定，故應(yīng)分當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上與點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論．

【解答】（1）∠2＝∠1+∠3．

證明：如圖1，過點(diǎn)P作PE∥l1，

∵l1∥l2，

∴PE∥l2，

∴∠1＝∠APE，∠3＝∠BPE．

又∵∠2＝∠APE+∠BPE，

∴∠2＝∠1+∠3；

（2）①如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠2＝∠3﹣∠1．

理由：過點(diǎn)P作PF∥l1，∠FPA＝∠1．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠FPB＝∠3，

∴∠2＝∠FPB﹣∠PFA＝∠3﹣∠1；

②如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠2＝∠1﹣∠3．

理由：過點(diǎn)P作PE∥l2，∠EPB＝∠3．

∵l1∥l2，

∴PE∥l1，

∴∠EPA＝∠1，

∴∠2＝∠EPA﹣∠EPB＝∠1﹣∠3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．