時間序列分解入門

醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué) 2019-03-22

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最近在學(xué)習(xí)時間序列分析，而在學(xué)習(xí)的過程中，首先遇到的問題就是如何對時間序列進行分解。如果寫的過程中有什么錯誤，還希望能夠被及時糾正。

一、時間序列的組成

經(jīng)濟時間序列的變化受到長期趨勢、季節(jié)變動和不規(guī)則變動這四個因素的影響。其中：

（1）長期趨勢因素（T）

長期趨勢因素（T）反映了經(jīng)濟現(xiàn)象在一個較長時間內(nèi)的發(fā)展方向，它可以在一個相當(dāng)長的時間內(nèi)表現(xiàn)為一種近似直線的持續(xù)向上或持續(xù)向下或平穩(wěn)的趨勢。

（2）季節(jié)變動因素（S）

季節(jié)變動因素（S）是經(jīng)濟現(xiàn)象受季節(jié)變動影響所形成的一種長度和幅度固定的周期波動。

（3）周期變動因素（C）

周期變動因素也稱循環(huán)變動因素，它是受各種經(jīng)濟因素影響形成的上下起伏不定的波動。

（4）不規(guī)則變動因素（I）

不規(guī)則變動又稱隨機變動，它是受各種偶然因素影響所形成的不規(guī)則變動。

這里值得注意的值得注意的包括以下兩點：

季節(jié)變動因素和周期變動因素的區(qū)別：周期變動因素的變動不具有固定周期，但季節(jié)變動的具有固定周期同時與特定日期相關(guān)。

很多時候，我們沒必要區(qū)分長期趨勢因素和周期變動因素，統(tǒng)稱為趨勢-周期因素（T`tT`t)

二、時間序列分解模型

時間序列Y可以表示為以上四個因素的函數(shù)，即：

yt=f(Tt,St,Ct,It)

這里ytyt,TtTt,CtCt,ItIt分別表示時間序列原始值、長期趨勢因素、季節(jié)變動因素、周期變動因素和不規(guī)則變動因素。

時間序列分解的方法有很多，較常用的模型有加法模型和乘法模型。

加法模型為：

yt=Tt+St+Ct+It

乘法模型為：

yt=Tt×St×Ct×It

這兩個模型分別試用與不同情形：

如果季節(jié)變動的幅度以及趨勢和周期的波動都不隨時間變化而變化，則比較適合試用加法模型

如果季節(jié)變動的幅度或趨勢和周期的波動隨時間變化而變化，則比較適合試用乘法法模型

在很多時候，這兩個模型是可以相互轉(zhuǎn)換的，一個有效的方式就是通過Log函數(shù)，即：

yt=Tt×St×Ct×Itisequivalenttologyt=logTt+logSt+logCt+logIt

三：模型的分解

3.1 移動平均：

通常，我們使用移動平均來估計趨勢-周期因素。

一個m階的公式如下所示：

T`t=1m∑j=?kkyt+j

在上式中，m=2k+1. 在這里，我們通過平均k個時間周期的時間序列來消除數(shù)據(jù)中的一些隨機因素，從而來估算趨勢-周期因素的值。這里，我們用m-MA來表示m階的移動平均。

3.2 移動平均的移動平均

移動平均的移動平均表示的是我們在對原始時間序列數(shù)據(jù)應(yīng)用移動m-MA之后，對其輸出的數(shù)據(jù)繼續(xù)使用n-MA,這里我們使用”n××m-MA”來表示這個過程。

我們進行”n××m-MA”的一個重要原因就是為了使得偶數(shù)階移動平均對稱。我們以”2××4-MA”為例，具體計算如下：

T`t=12[14（yt?2+yt?1+yt+yt+1）+14（yt?1+yt+yt+1+yt+2）]=18yt?2+14yt?1+14yt+14yt+1+18yt+2

通過上式，我們發(fā)現(xiàn)”2××4-MA”具有對稱性，所以我們把”2××4-MA”稱作4階的中心移動平均。中心移動平均的一個重要用途就是從季節(jié)性數(shù)據(jù)中進行趨勢-周期因素的估算，例如我們在使用”2××4-MA”，數(shù)據(jù)為季節(jié)性數(shù)據(jù)時，每個季節(jié)都被給予了相同的權(quán)重，因此季節(jié)性的變動就可以通過這種方式消除。通?！?××m-MA”等價于所有中間樣本被賦予權(quán)值1m1m，首尾樣本被賦予權(quán)值12m12m的”2××m-MA”。

當(dāng)然，我們也可以進行其他組合，例如”3××3-MA”。通常，為了使”n××m-MA”結(jié)果滿足對稱性，n與m要么都是奇數(shù)，要么都是偶數(shù)。

3.3經(jīng)典時間序列分解

3.3.1加法模型分解的步驟：

（1）運用移動平均法剔除趨勢-周期變化，得到序列T+C(即T`tT`t)，這里如果m為奇數(shù)，則用m-MA,否則使用”2××m-MA”。

（2）作散點圖，選擇適合的曲線模型擬合序列的長期趨勢，得到長期趨勢T。

（3）計算周期因素C。用序列T+C減去T即可得到周期變動因素C。

（4）然后再用按月（季）平均法求出季節(jié)指數(shù)S,即把所有相同月（季）的數(shù)據(jù)進行平均。

（5）將時間序列的T、S、C分解出來后，剩余的即為不規(guī)則變動，即：

I=Y?T?C?S

3.3.2乘法模型分解的步驟：

乘法模型分解的基本步驟是：

（1）運用移動平均法剔除趨勢-周期變化，得到序列TC(即T`tT`t)，這里如果m為奇數(shù)，則用m-MA,否則使用”2××m-MA”。