談到乘法結(jié)構(gòu)，我曾經(jīng)說過：“學(xué)會(huì)乘除法，并不是一件簡單的事。加減法在心智層面，其實(shí)是扁平式的一層結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)加減法結(jié)構(gòu)，只是理解了整體部分的關(guān)系。然而乘除法卻不是一維的結(jié)構(gòu)，而是二維結(jié)構(gòu)。這就好比單層平房和摩天大樓一樣。當(dāng)我們的心智，不僅僅要管一個(gè)維度的數(shù)量，還要同時(shí)考慮另一個(gè)維度的數(shù)量，并因此去計(jì)算總量的時(shí)候，就產(chǎn)生了乘法結(jié)構(gòu)。”

——選自文章：讓孩子的心智升級(jí)：分類與乘法結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)啟蒙

圖片來自《大陸博士教你數(shù)學(xué)》二階段課程

上圖只是一個(gè)簡單的將乘法此消彼長的關(guān)系用兒童能夠理解的方式表達(dá)出來的圖式，在學(xué)習(xí)乘法結(jié)構(gòu)的過程中，我們還會(huì)讓孩子接觸各種圖式，目的是為了體現(xiàn)不同的乘法情景關(guān)系，“數(shù)學(xué)思維”就體現(xiàn)在我們?nèi)绾伟丫唧w化的情景抽象成為數(shù)學(xué)關(guān)系的過程中。

假如我們不談這個(gè)思考過程，只是告訴孩子，這道題目應(yīng)該這樣解，或者首先讓孩子去思考“應(yīng)該用乘法還是除法”？那么我們就把最重要的部分省略掉了，也就是我們?yōu)槭裁慈绱伺袛嗟囊罁?jù)省略掉了，孩子也就習(xí)得不了數(shù)學(xué)思維，就如同瞎子摸象一樣，只能斷章取義，獲得的數(shù)學(xué)概念也會(huì)支離破碎。這樣的結(jié)果就是，在遇到一些情景關(guān)系不那么熟悉，或者不是那么直接可以套用方法的題目時(shí)，就不知如何下手了。

下面這道題目是來自于數(shù)學(xué)微課二（4）班的家長，在日常學(xué)員交流時(shí)聊的一道題目。

群里家長們也交流了很多思路，方法，我也截取一部分給大家看一下：

以上家長討論中談到的“盒子”，是我在二階段課程中的一個(gè)比喻，比喻乘法結(jié)構(gòu)，就如同把一樣樣?xùn)|西分配到一個(gè)個(gè)盒子中，份數(shù)就如同盒子，每份數(shù)就如同盒子里的包含量。用一個(gè)孩子能夠接受的比喻，但同時(shí)又去掉了各種題目中情景化的具體事物后，我們留下對(duì)乘法結(jié)構(gòu)的二維認(rèn)識(shí)：“盒子”與“包含量”。

解答這道題目關(guān)鍵在于要認(rèn)識(shí)到乘法是具有“此消彼長”的特點(diǎn)的，這個(gè)我貫穿在整個(gè)二階段課程中都會(huì)反復(fù)提醒，甚至到三階段，解答某些題目的時(shí)候我們依然要讓孩子能夠回顧這個(gè)基本點(diǎn)。

所謂“此消彼長”，要在頭腦中構(gòu)建一個(gè)抽象的認(rèn)識(shí)，就要想象事物具有某種變化重構(gòu)的力量，如同一塊粘土，可以變成長寬高不等的方塊，乘法結(jié)構(gòu)的兩個(gè)維度可以想象成一個(gè)矩形的兩條邊，面積相等的情況下，一邊長了，另一邊就短了；反過來，一邊變短了，那么另一條邊就會(huì)變長。我們需要重點(diǎn)讓兒童能夠把題目中具體的事物對(duì)應(yīng)到這種抽象結(jié)構(gòu)中去理解。

上題，一天5道題目，可以理解為“一個(gè)盒子里裝了5”；那么當(dāng)一天變成6道題目的時(shí)候，自然盒子的總數(shù)會(huì)變少，這就符合我們說的兩個(gè)維度此消彼長。

當(dāng)然這道題目給出的條件中，稍微增加了一點(diǎn)難度，并不是單純的“重復(fù)集合”的關(guān)系，是不平均的，另外有兩組是10。這個(gè)時(shí)候，單純通過此消彼長去理解就產(chǎn)生困難，我們就要引入另外一個(gè)概念，也是皮亞杰提出的“補(bǔ)償原則”，我們要理解：一個(gè)維度上缺失的量，會(huì)被補(bǔ)償?shù)搅硗庖粋€(gè)維度上。這聽上去很難理解，你可以想象成，如果一個(gè)物體，高度變矮了，那么寬度上看上去就胖了。。。（哈哈，你是不是瞬間想到了矮胖和高瘦）

請(qǐng)看下圖：一些物體分配給24個(gè)人，后來又來了4個(gè)人，如果把物體重新分配，這時(shí)每個(gè)人比原來少2個(gè)，一共多少物體？

圖片來自《大陸博士教你數(shù)學(xué)》二階段課程

用語言來解釋這張圖就是，包含量這個(gè)維度上減少了2，總體就減少了48個(gè)，這48個(gè)物體被補(bǔ)償?shù)侥睦锶チ四?？就是增加?個(gè)人這個(gè)維度（人是一個(gè)維度，每個(gè)人得到的物體是另一個(gè)維度）。概括講，就是每個(gè)人分配物體少了2個(gè)，結(jié)果就是可以多分配給4個(gè)人。這就是補(bǔ)償原則。

回到前面這道題目中，由于不是單純重復(fù)集合，我們可以利用補(bǔ)償原則，去思考總量上差了多少，這個(gè)部分肯定被補(bǔ)償?shù)侥睦锶チ?。（只有熟悉補(bǔ)償原則，我們才會(huì)第一時(shí)間去思考多了多少出來，它們又去了哪里？）

請(qǐng)看下圖，首先我們要明確一個(gè)條件，藍(lán)色比紅色組少一天，這個(gè)是題目告訴我們的，這個(gè)大前提必須跟孩子講清楚，畫圖會(huì)很明了，接著要明確藍(lán)色組與紅色組天數(shù)一樣的部分在哪里，把剩下的部分進(jìn)行比較，看看多出多少需要進(jìn)行補(bǔ)償（也就是重新分配到前面的天數(shù)中去）。

我們采取了兩個(gè)思路，思路1是把最后兩個(gè)10與一個(gè)6進(jìn)行比較，紅色組多出了14，這個(gè)14會(huì)去哪兒呢？被重新分配到前面的天數(shù)里，每天藍(lán)色比紅色多1，所以一共經(jīng)過了14天，補(bǔ)償完畢。這個(gè)思路的結(jié)果就是：

14＊6＋6=90

或

（14+1）＊6=90

而思路2是把倒數(shù)第二天的10，分了5個(gè)出去，與最后一天合并剩下15，也就是余了15個(gè)，這15個(gè)被重新分配到了前面15天里去，所以結(jié)果就是：

15*6=90

兩個(gè)思路都可以，都是用補(bǔ)償原則的思路來解決問題的，只是整體部分分割的方式不同。

在結(jié)束之前，我還要提醒家長們一點(diǎn)，無論你是看我的文章給孩子輔導(dǎo)，還是你正在上微課，跟孩子進(jìn)行這些實(shí)踐，你都要理解一點(diǎn)：孩子對(duì)于乘法結(jié)構(gòu)的掌握并不是一蹴而就的，不可能象成年人這樣，通過看一篇文章就理解了，也不可能通過一道題目就會(huì)了，乘法結(jié)構(gòu)的理解是需要通過不同的情景關(guān)系，不同角度去講，每次突出某個(gè)方面，并逐漸在螺旋上升的過程中深化其數(shù)學(xué)涵義才能掌握的。

數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成，是一個(gè)從具象到抽象的過程，如果沒有足夠豐富的例子，足夠多的視角去談同一個(gè)問題，那么孩子就很難獨(dú)立去理解一個(gè)抽象公式的全面內(nèi)涵，必定在概念上是有缺失的。從這種角度講，盲目刷題是無效的，重要的是有選擇的提供不同角度理解概念的題目，從不同側(cè)重點(diǎn)去剖析同一個(gè)概念才是明智的做法。