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      如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,F(xiàn),E分別是對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn).求證:EF=...

       NC子夜 2019-04-01
      證明:方法一:
      如圖所示,連接AE并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)G.
      ∵AD∥BC,
      ∴∠ADE=∠GBE,∠EAD=∠EGB,
      又∵E為BD中點(diǎn),
      ∴△AED≌△GEB.
      ∴BG=AD,AE=EG.
      在△AGC中,
      ∵F,E分別是對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)
      ∴F、E是△AGC的為中位線,
      ∴EF∥BC,EF=
      1
      2
      GC=
      1
      2
      (BC-BG)=
      1
      2
      (BC-AD),
      即EF=
      1
      2
      (BC-AD).

      方法二:如圖所示,設(shè)CE、DA延長(zhǎng)線相交于G.
      ∵E為BD中點(diǎn),AD∥BC,易得△GED≌△CEB.
      ∴GD=CB,GE=CE.
      在△CAG中,∵E,F(xiàn)分別為CG,CA中點(diǎn),
      ∴EF=
      1
      2
      GA=
      1
      2
      (GD-AD)=
      1
      2
      (BC-AD),即EF=
      1
      2
      (BC-AD).
      • 三角形中位線定義:
        連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。一個(gè)三角形共有三條中位線。
        三角形中位線定理:
        三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。

        如圖已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點(diǎn)。
        則DE平行于BC且等于BC/2

      • 三角形中位線逆定理:

        逆定理一:在三角形內(nèi),與三角形的兩邊相交,平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。
        如圖DE//BC,DE=BC/2,則D是AB的中點(diǎn),E是AC的中點(diǎn)。
        逆定理二:在三角形內(nèi),經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn),且與另一邊平行的線段,是三角形的中位線。
        如圖D是AB的中點(diǎn),DE//BC,則E是AC的中點(diǎn),DE=BC/2

      • 區(qū)分三角形的中位線和中線:
        三角形的中位線是連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段;
        三角形的中線是連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段。

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