平行線有關的面積問題

【題目】

（2018·荊門）如圖，拋物線y=ax2 bx c（a≠0）與x軸交于原點及點A，且經(jīng)過點B（4，8），對稱軸為直線x=﹣2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設直線y=kx 4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x2（x1＜x2），當1/x_2 -1/x_1 =1/2時，求k的值；

（3）連接OB，點P為x軸下方拋物線上一動點，過點P作OB的平行線交直線AB于點Q，當S△POQ：S△BOQ=1：2時，求出點P的坐標．

（坐標平面內(nèi)兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=√((x_1-x_2)2 (y_1-y_2)2 )）

【答案】

解：（1）根據(jù)題意得，-b/2a=-2，16a 4b c=8，c=0，

∴a=1/4，b=1c=0，

∴拋物線解析式為y=1/4x2 x；

備注：待定系數(shù)法

（2）∵直線y=kx 4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x2，

∴1/4x2 x=kx 4，

∴x2﹣4（k﹣1）x﹣16=0，

根據(jù)根與系數(shù)的關系得，x1 x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，

∵1/x_2 -1/x_1 =1/2，

∴2（x1﹣x2）=x1x2，

∴4（x1﹣x2）2=（x1x2）2，

∴4[（x1 x2）2﹣4x1x2]=（x1x2）2，

∴4[16（k﹣1）2 64]=162，

∴k=1；

備注：韋達定理的應用

（3）如圖，取OB的中點C，

∴BC=1/2OB，

∵B（4，8），

∴C（2，4），

∵PQ∥OB，

∴點O到PQ的距離等于點O到OB的距離，

∵S△POQ：S△BOQ=1：2，

∴OB=2PQ，

∴PQ=BC，∵PQ∥OB，

∴四邊形BCPQ是平行四邊形，

∴PC∥AB，

∵拋物線的解析式為y=1/4x2 x②，

令y=0，

∴1/4x2 x=0，

∴x=0或x=﹣4，

∴A（﹣4，0），

∵B（4，8），

∴直線AB解析式為y=x 4，設直線PC的解析式為y=x m，

∵C（2，4），

∴直線PC的解析式為y=x 2②，

聯(lián)立①②解得，x=2√2，y=2√2 2（舍）或x=-2√2，y=-2√2 2，

∴P（﹣2√2，﹣2√2 2）．

備注：S△POQ：S△BOQ=1：2，由于這兩個三角形有兩條邊平行，所以它們對應的高相等，那么面積比就等于對應邊（底）的比。得PQ=1/2OB。這是本題的關鍵。

利用PQ∥OB，且PQ=BC，易得四邊形BCPQ是平行四邊形。

當然，也可以得到四邊形PQCO為平行四邊形。

如：設點P的坐標為（x，1/4x2 x），因為易求得點C的坐標為（2,4），

所以點Q的坐標為（x 2,1/4x2 x 4），由于點Q在直線AB：y=x 4上，代入即可得到一個關于x的方程：

x 2 4=1/4x2 x 4，得x2=8，x=±2√2，結(jié)論易得。

以下是標準答案，相對而言更復雜一些。

【總結(jié)】

解題的時候，能利用幾何性質(zhì)進行化簡，則盡量利用幾何性質(zhì)進行化簡，否則會陷入運算復雜的誤區(qū)。

本題關鍵就是利用面積關系，得到線段的關系。

拓展：

荊門，素有“荊楚門戶”之稱 ，位于湖北省中部，漢江中下游，北接襄陽市和隨州市，西靠宜昌市，東臨孝感市，南分別與荊州市、潛江市、天門市接壤，介于東經(jīng)111°51′-113°29′，北緯30°32′-31°36′之間。

荊門在夏商時屬荊州之域，西周分屬權(quán)國、鄀國，春秋戰(zhàn)國屬楚，漢置當陽縣，唐立荊門縣，宋建荊門軍，元設荊門府，明復荊門縣，清為荊門直隸州，民國降州為縣，新中國成立后續(xù)為荊門縣。1979年，分設荊門縣、荊門市。1983年，荊門縣與荊門市合并升為地級荊門市。

荊門是湖北省歷史文化名城 ，也是中國優(yōu)秀旅游城市 ，境內(nèi)有世界文化遺產(chǎn)——明顯陵，以及楚漢古墓群、屈家?guī)X文化遺址等文化古跡，誕生了朱厚熜、老萊子、宋玉、莫愁女等一批歷史名人，留下了“陽春白雪”、“下里巴人”等歷史典故。